重要不等式应用汇总9奥赛必备0_重要不等式及其应用

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重要不等式应用汇总

数学竞赛常用

1． 排序不等式：

设a1a2...an, b1b2...bn j1,j2,...,jn是1,2,...,n的一个排列，则

2． 均值不等式：当aiR（in111a1a2anna1bna2bn1...anb1a1bj1a2bj2...anbjna1b1a2b2...anbn.1,2,n）时，有：

aa2ana1a2an1na1a2an

n2223． 柯西不等式：设ai,biR(i1,2,...n)则(a)(b2ii1i1nn2i)(aibi)2.i1n等号成立当且仅当存在R，使得biai(i1,2,...,n).从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式 变形：（1）设aiR,biR则

nabi1in2i(ai)2(bi)i1i1n.（2）设ai,bi同号，且ai,bi0,则aii1bin(ai)2(aibi)i1i1nn.4． 琴生（Jensen）不等式：若f(x)是(a,b)上的凸函数，则对任意x1,x2,...,xn(a,b)

x1x2...xn1)[f(x1)f(x2)...f(xn)].nn5．幂均值不等式： f(a1a2...ana1a2...an设0(aiR)则 M()()M.nn6.切比雪夫不等式：

11设两个实数组a1a2...an，b1b2...bn则

1(a1bna2bn1...anb1)nabii1nnini1nn1(a1b1a2b2...anbn).nnii（该不等式的证明只用排序不等式及7．一个基础不等式：

ab的表达式就可得证）

i1i1xy1x(1)y 其中x,y0,[0,1],若x,y中有一个为零，则结论成立 8．赫尔德（Holder）不等式：设 ak,bk0(k1,2,...n).p,q1且

111，则 pqabkk1nk(akp)(bkq)（等号成立当且仅当akptbkq）

k1k1n1pn1q*9.与对数函数有关的一个不等式：

x ln(1x)x，x0.（该不等式的证明利用导数的符号得出函数的单调性）1x*10．三角函数有关的不等式：sinxxtanx x(0,*11．绝对值不等式: 设a,b,a1,a2,an*12．舒尔（Schur）不等式：

设x,y,zR，则x(xy)(xz)y(yx)(yz)z(zx)(zy)0 *13.闵可夫斯基（Minkowski）不等式：

如果x1,x2,......,xn与y1,y2,......,yn都是非负实数p1，那么((xiyi))(x)(y)ppipii1i1i1n1pn1pn1p2)

C，则有：│|a|-|b|│≤│a+b│≤│a│+│b│；

│a1a2an│≤a1a2an

14.贝努利不等式

（1）设xi1,i1,2,n,n2且同号，则

(1x)1xii1i1nni

（2）设x1，则（ⅰ）当01 时，有(1x)1x；

（ⅱ）当1或0 时，有(1x)1x，上两式当且仅当x0时等号成立。不等式（1）的一个重要特例是(1x)n1nx(x1,x0,nN,n2)15.艾尔多斯—莫迪尔不等式

设P为△ABC内部或边界上一点，P到三边距离分别为PD，PE，PF，则

PAPBPC2(PDPEPF)当且仅当△ABC为正三角形，且P为三角形中心时上式取等号。这是用于几何问题的证明和求最大（小）值时的一个重要不等式 16.外森比克不等式：

已知三角形的边长为a,b,c，其面积为S，求证abc43S，当且仅当a=b=c时取等号

222其他不等式综合问题 例1：（第26届美国奥数题）设a、b、c∈R+，求证：1111 333333ababcbcabccaabcabc11 3abcabcdabcd33推广1：设a、b、c、d∈R+，求证：推广2：设ai∈R+(i=1、2、3，…，n),求证：n1iki1aaii1nin1aii1n

例2：设x、y、z∈R+，求证：

x2y2z2221.2222yzyzzxzxxyxyn推广1：设ai∈R+，(I=1,2,3,…，n)求证：推广2：设xyz∈R+，求证：

ainkinakakki1.i1xn1yn1zn13 n1nn1nn1nn12n1n12n1n12n1n2yyzyzzzzxzxxxxyxyy例3：设x、y∈（0，1），求证：

112。（9）1x21y21xy1n nni11xi1xini1推广1：xi∈（0，1）(i=1、2、3，…，n),求证：推广2：xi∈（0，1）,(i=1、2、3，…，n),求证：n11.2i11xi11xixi1inn11.（xn+1=x1）推广3：xi∈（1，+∞）,(i=1、2、3，…，n),求证：2i11xi11xixi1in例4．已知a,b,c,m为正数．求证：

abcambmcm． bcabmcmam222例5．设正数x,y,z,a,b,c满足cy+bz=a,az+cx=b,bx+ay=c,求函数f(x,y,z)=xyz的最

1x1y1z小值.例6．设n是给定的正整数，且n≥3,对于n个实数x1,x2,…,xn，记|xi-xj|(1≤i

例7．设n是一个固定的整数，n≥2(Ⅰ)确定最小的常数c使得不等式

1ijnxxij(xixj)c(xi)4对所有的非负实数x1，x2，…，xn都成立；(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的22i1n常数c，确定等号成立的充要条件。

例8．（2007年CMO试题5）设有界数列{an}(n1)满足an2n2006knak1,n1,2,3 k12n2007求证：an1,n1,2,3, n