让学生了解数学的价值 激发自身潜能_数学课堂激发学生潜能
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让学生了解数学的价值 激发自身潜能
王新敞
一、让学生了解：数学是思维的体操，智慧的火化
数学是一门古老的科学。在人类懂得在地上种植食物之前，人类已懂得在树木上刻划横线以记录数目。可以说，数学是人类最古老的科学之一。
数学是根据某些假设，用逻辑的推理得到结论。从本质上看，数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学。或简言之，是研究数与形的科学。对这里的数与形应做广义的理解，它们随着数学的发展，将不断取得新的内容。
数学来源于人类的生产实践活动，它随着人类社会生产力的发展而发展。一般的，可以把数学的发展分为四个时期：数的产生(公元前3000年至公元前5世纪)；常量数学即初等数学(公元前5世纪至公元17世纪)；变量数学即近代数学(公元17世纪至19世纪末)；现代数学(19世纪末至今)。
初等数学时期，从公元前5世纪到17世纪中叶，数学研究的主要对象是常数、常量和不变的图形。在这一时期，数学经过漫长时间的萌芽阶段，在生产的基础上积累了丰富的有关数与形的感性认识。到公元前6世纪的希腊几何学这一转折点，从此由具体的、试验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段，开始创立初等数学，经过发展的交流，最后形成了几何、算术、代数、三角等独立学科。这一时期的成果可以用“初等数学”来概括，它构成了中小学数学课的主要内容。
变量数学时期，从17世纪中叶到19世纪20年代，数学研究的主要内容是数量的变化及几何变换。这一时期的主要成就是解析几何、微积分、高等代数等学科，它们构成大学数学(非数学专业)的主要内容。
现代数学时期，由19世纪20年代至今，数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象仅仅是特殊情形。抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分，它们是大学数学专业的课程。变量数学时期新兴起的许多学科，蓬勃的向前发展，内容和方法不断地充实、扩大和深入。
二、让学生了解：数学思维的魅力
“数学是思维的体操”。其实，数学不仅是思想体操而已。数学思维具有无穷的威力，也有令人醉心的魅力。
2001年3月22日，俄罗斯“和平”号空间站准确地坠毁在南太平洋指定海域。在这场举世瞩目的行动中，有两门数学起着关键的作用：1948年仙农建立的数学信息论，以及1946年维纳开创的数学控制论。首先，这需要由地面远距离传送指令信息，这肯定要受到噪声的干扰。如何保证“和平”号上接收的指令完全正确，这需要用抗干扰的通信理论和数学滤波设计。至于如何指挥空间站上计算机启动阀门，调整飞行姿态，控制进入大气层的地点和速度，都必须准确地运用控制论技术。时至今日，宇航专家对这门数学控制技术的运用已经驾轻就熟，因而这次坠毁可说无惊无险。
在“和平”号坠毁时，俄罗斯的地面指挥中心及其派往南太平洋的观测组，以及南太平洋
周边地区的许多地面观测站都在工作。在这些观测活动中，离不开一项关键数学技术———卡尔曼滤波。众所周知，由于受各种干扰的影响，地面观察到的飞船位置和真实的飞船位置会出现误差。1960年，美国数学家卡尔曼（R.Kalman）提出了一种数学方法，可以把随机出现的干扰“滤”掉，使地面监测的数据和真实的位置达到最佳吻合。这便是著名的卡尔曼滤波。1968年，美国阿波罗飞船登月，地面上四座雷达监控飞船的位置，并发出指令使阿波罗飞船软着陆，如果地面观测误差太大，控制飞船计算机调节指令出现失误，登月计划就将前功尽弃。卡尔曼滤波技术于是在登月航行中大显身手，经受了实践的检验。时至今日，任何航行（包括每一架喷气客机）都离不开卡尔曼滤波，“和平”号的坠落自然也不例外。卡尔曼滤波技术现在已推广到地震监测和经济趋势的监控。是的，我们虽然看不见数学技术的巨大威力，却无时无刻不在享受它的恩惠。
三、让学生了解：理性思维的精华
数学的思维是严密的，最讲究秩序的。确实，五花八门的几何图形，如三角形、圆、多边形、长方体、圆锥面等等，居然可以从一组平凡的公理出发，步步为营，依次展开，推论出一系列的前后有序的定理链条，最后构成了欧氏几何学。另外，我们能从一堆乱麻似的数据中，找到一些关系，写成方程式，而且可以按部就班地把未知数一一解出来。一个数学命题的正确与否，通常都有方法，按照一定的程序，丝丝入扣地给以证明。这一切，都是反映数学思维的“秩序化”特征。学习数学，就是要学会逻辑，使人的头脑有条理，能够按照事物发展的逻辑顺序安排工作，办起事来有条不紊。
有人说，数学思维太死板。例如，“三角形的三内角之和是180度”。这需要证明吗？用量角器量一量，大概差不多不就得了？数学却说不行，非得证明不可。我们说，这是一种理性的思维方式，是数学科学中所独有的。当然我们并非“数学至上”论者。数学思维只是思维方式的一种，但却是最有特点的一种。我们不妨从各种思维中有关“证明”的方法来考察数学思维。证明，是人们为了说服别人相信某个结论而使用的方法。说服人的证明方法有很多种：引用权威的话；相信大家的看法；观察实验证实；例如，我的眼睛看到太阳是绕地球转的；举例说明；举不出反例等。以上的证明，是日常所用的，都有其重要的证明价值（决无加以否定的意思），但是又都可能出错（如所举各例）。惟独数学证明，则是千真万确的，不可动摇的。数学的逻辑证明，其价值也正在这里。因此，“三角形内角和为180度”在数学上必须从平行公理出发进行证明，人们从小就要学会这样思考，认这个死理。值得注意的是，中国传统文化中缺乏这种打破砂锅问到底的理性思维。因此，吸收古希腊数学家的这份科学遗产，把人类文明的理性精华融入中华文化，是我们的责任。
四、让学生了解：数学不仅是自然科学的基础也是高科技的基础
数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学.现代数学的研究早就超出了“数”与“形”的范畴。一般说来，数学的对象可以包括客观现实中的任何形式和关系，数学首要和基本的对象是数量的和空间的关系和形式。
一切事物都离不开“数”与“形”这两个侧面。因此，数学就成为诸如物理、力学、天文化学生物等科学的基础。数学为它们提供了描述大自然的语言与探索大自然奥秘的工具。正如伟大科学家伽里略说的：“自然界这部伟大的书是用数学写成的。”
回顾科学发展的历史，许多天文的，物理学的重大发展无不与数学的进步相关。牛顿万
有引力定律的发现依赖于微积分，而爱因斯坦的相对论则与黎曼几何及其他数学的发展有关。这是人所共知的历史事实。
今天，我们正处在高科技时代，自然科学的各研究领域都进入了更深的层次和更广的范畴，这就更加需要数学。许多十分抽象的数学概念与理论出人意外地在其他领域中找到了它们的原型与应用.数学与自然科学的关系从来没有像今天这样的密切。一百年前恩格斯说过“数学在化学中的应用是线性方程组，而在生物学中的应用是零”。但这样的时代早已经过去了，许多数学的高深理论与方法正在广泛地渗透到自然科学研究的各个领域。比如，分子生物学中的关于DNA的复杂结构的研究与拓扑中的纽结理论有关，而理论物理中的规范场论与微分几何中的纤维丛理论紧密相关。自然科学的研究正在呈现一种数学化的趋势。
数学不仅是自然科学的基础，而且也是一切重大技术革命的基础。20世纪最伟大的技术成就应当是电子计算机的发明与应用，它使人类进入了信息时代。然而，无论是计算机的发明，还是它的广泛使用，都是以数学为其基础的。而在当今的计算机的重大应用中都包含着数学的理论与技术。1985年美国国家研究委员会在一份报告中指出：“数学是推动计算机技术发展和促进这种技术在其他领域应用的基础科学”。该委员会还强调指出“数学是一个大有潜力的资源”，有待人们去大力开发。
今天，信息技术应用于人类生活的方方面面，使人们无处不感到它的存在。然而，享用这些技术的人们往往只看到了技术现象，而看不到这些技术背后的数学。正像前美国总统科学顾问艾德华—大卫所说的：“很少人认识到当今如此被广泛称颂的高技术在本质上是一种数学技术。”这句话可能会招致某些争论。但是，它并不是否定各种硬件技术发展的意义，而是强调很少人认识到数学在高技术中的重要性这个事实，强调高技术中数学的不可或缺性。从这个意义上讲，他的见解是正确的，并且是富有远见的。
事实上，从医疗上的CT技术到中文印刷排版的自动化，从飞行器的模拟设计到指纹的识别，从石油地震勘探的数据处理到信息安全技术等等，这些形形色色的技术的背后，数学扮演着十分重要的不可缺少的重要角色.数学在这些领域内不是什么增补营养的“钙片”，也不是可有可无的一项参考，而是问题的关键，是真正能解决问题的关键。
信息技术的发展使得数学在科学技术中的地位发生了重大变化。当今数学不再只是通过其他基础学科间接地应用于技术领域，而是广泛地直接地应用于各种技术。
高科技的发展使科学计算提升为一种研究方法，与理论推导和科学实验相并列，作为科学探索的三大手段之一。科学计算在某些领域里事实上已经替代或部分替代了一些价值昂贵的实验。大规模科学工程计算已在材料学的研究中以及航天和军事工程设计中发挥着巨大作用。
正是因为这些原因，许多发达国家十分重视数学的研究，把优先发展数学看成是保持国家科技领域可持续发展的战略需要。鉴于数学在科技中的特殊地位和当今科技的数学化的进程，美国自然科学基金委员会决定要将对数学的支持强度翻两番。
我国的公众对数学了解甚少，大多数人认为数学只不过是研究一些古老难题而已，更多的学生只是高考得分而已。在我的网页的留言栏有这样的留言：“我因为要考MBA, 所以要复习中学的数学。令我感到感慨的是，大学毕业9年，我对数学一点概念都没有了，连三角函数都忘记了，更别说其它的东西了，例如不等式„„，令人捧腹不已的是，我高考
92年的理科数学，还考了150分的满分。所以我觉得基础教育，还是在于打基础，明概念。而您的教案就是如此。有了您的资料，我很快就把过去的东西捡起来的。谢谢老师”。我们的数学工作者没有重视必要的舆论和传播工作，而在我们的中小学的数学教育中，又很少讲到数学的应用，而是在一些枝节问题上做不必要的文章，应付考试。这样，公众得出这样的结论在所难免。
目前，不仅是社会上对数学科学缺乏了解，而且我们数学工作者或数学教育工作者也在不同程度上对数学存在着不完整的理解及认识.如果我们只强调数学的美，只强调数学逻辑的严谨，而不讲数学的应用价值和科学价值，这就容易使那些不以数学为职业的学生感到厌倦；使学生看不到数学与社会及时代发展的联系，看不到科学与技术当今数学化的趋势，那我们就忘记了数学中最重要的和最本质的东西。因此，使学生对数学的学习仅仅处在为了高考分数而学的被动状态。正如前面的留言，高考虽得了150的满分，“大学毕业9年，我对数学一点概念都没有了”。
五、让学生了解：数学的发展正在迅速改变着数学学科的面貌
数学在过去的几十年中发展是非常迅猛的，其发展速度超出了以往的任何时代。在这几十年中，数学的发展呈现了以下两个显著的特征.第一，数学内部各个分支学科之间的相互交叉和相互渗透。原有的分支学科之间的界线淡化了，而形成了许多新的综合的研究领域。它们是数学新的生长点，有很强的活力。在这些领域中，代数的、分析的、几何的、拓扑的、乃至随机的方法，紧密地结合在一起，出现了“你中有我，我中有你”新格局.过去不同领域的数学家们又重新认识到他们正从事同一项研究.这是数学内部统一性的反映，也是数学生命力所在.著名数学家希尔伯特说过，“数学科学是一个统一的整体，他的生命力在于各部分之间的联系。”当代数学的发展已经证明了这一点。
数学的这种综合交叉发展的趋势不仅为数学研究提供了新的生长点，而且也有力地避免数学研究的繁琐倾向，使其研究更集中于更有价值的问题上。
第二，数学与科学技术的广泛结合，形成了许多新的应用数学学科和不少的边缘学科，应用数学得到普遍的关注和空前的发展，出现了形形色色的新的分支，非线性科学、生物信息、金融数学、计算材料学、信息安全等等。如果说，上述数学内部各分支的交叉是数学内部的统一性的表现，那么，当今数学与其他科学技术结合则是数学与外部世界统一性的表现。数学发展的这种趋势使得数学研究领域大大扩大了，正在改变着自己的面貌.数学已经不再是那种纯而又纯的学科，而是与当今许多其他领域结合在一起发展，更加面向社会实际。这是不可忽视的事实。
数学上述发展趋势再一次证明了数学的统一性，数学，无论是纯数学还是应用数学，它们是一个不可分的整体.纯数学的某些理论或方法往往是构成应用数学的基础，而应用数学的研究又反过来促进纯数学的发展。近年来发展起来的、在信息技术中有重要应用的小波理论就是一个非常突出的例子。因此，在如何看待纯数学的价值时，不可简单片面。
六、让学生了解：数学与人才
高科技时代充满着激烈的竞争，但归根到底是人才的竞争.培养一大批有创新能力的各种专门人才是在这场竞争中获胜的重要环节之一。
众所周知，数学教育在人才培养中有重要的地位和不可替代的作用，这自然无须多谈。在近几十年中，我们在国外及国内都看到了一种十分有趣的现象：一批原来从事数学研究的人转身投向于其他研究领域或某些技术开发领域，特别是在信息技术，金融及经济，和各种工程计算等领域，并在这些领域内取得重大成就，甚至成为其中的领袖人物。这种现象在发达国家常见不鲜。即使在我国，也是可以举出许多这样的著名例子。我国计算机领域或信息技术领域中许多代表人物是数学专业的毕业生，如果调查一下国外国内数学专业学生的就业状况，也就不难发现其中有相当比例的学生毕业后不是从事数学研究，而是到其他领域工作，在一些发达国家中，计算机业，信息技术业，金融与保险业，军工乃至安全部门等等是吸纳大批数学博士或硕士的主要行业.这已是人们熟知的现实，而不是对未来的美丽展望。如果说在我国80年代人才市场对数学人才的重要性还重视不足的话，那么到了90年代这种情况已经发生了相当的变化。
高科技人才市场对数学人才的青睐现象不是偶然的，也不是暂时的，而是高科技发展的社会需要。高科技人才市场对数学人才的需求是有原因的。这不仅是因为数学人才在逻辑推理，抽象思维能力和创新能力上有较大的优势，而更重要的是，在许多领域的研究或开发中需要越来越多的专门数学知识，而这些领域的工作者往往缺乏足够的数学根底与训练.在这种条件下，数学人才的参与就成为必然。由于数学学科的特点，尤其是它的概念的抽象性和连贯性，掌握专门数学知识在年轻时学习较易，并需要较长时日。这使得一般其他领域的人员很难在业余或在较短的时间内掌握他们工作中需要的某些较专门的数学知识。他们对自己不熟悉的数学符号和理论望而生畏，敬而远之。相反，一般说来，在数学上有了专门训练的人去学习另外某项领域的知识并达到与合作者沟通的程度并不那么困难。
在高科技时代，社会需要的数学人才是多方面的和多层次的：既可以是职业的数学家或数学教育工作者，也可以是经济师、软件设计师、统计师、工程计算专家、网络安全专家以及散布各行各业的工作者或研究人员。
学生在数学学习中的主动性水平和认知水平是这样相互影响的：主动性水平高，能力就得到发挥，认知水平就逐步提高，良好的认知能力又保持和激励着学习的主动性。反之，学习消极被动，势必影响学习任务的完成，学习有缺漏又导致认知水平不高，从而消极情绪再一次被加强。因此，每位数学教师都应该把促进学生的主动性放在首位，让学生了解数学的价值激发自身潜能，使学生从怕学到想学、能学、会学。
参考文献：张光远的《数学是思维的体操》
文汇报《数学思维的魅力》
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