对称美在高中数学教学中的相关应用_数学教学中的对称美

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对称美在高中数学教学中的相关应用

摘要:数学形式和结构的对称性,数学命题关系中的对偶性都是对称美的自然表现.在数学解题方面,对称方法往往使问题解决的过程简捷明快.因对称和谐,它唤起人们探索的兴趣,人们长去研究它,数学方法是一门科学又是一门艺术,因此研究数学中的对称美与对称性原理解题是有价值的课题.关键词: 对称性﹑数学美﹑对偶式﹑对称性原理

Ⅰ.对称美及对称性原理在数学发现中的用途举例

.利用对称性,预测问题结果

当人们面临一个课题或解一道数学难题时,往往先对结果作一大致的估量或预测而不是先用于计算或论证,有些数学问题可以根据其对称性,先预测结果,再进行证明.例1.已知x,y,z∈R﹢,且x+y+z=1求函数f(x,y,z)=

4x1+y14z1的最大值

分析直接求最大值,无从下手,观察变量x,y,z可知:它们在条件及函数f(x,y,z)中均具有对称性,可预测当x=y=z=时函数取最大值.此时,函数f(x,y,z)的值为41414121 从而4x1+4y14z121

只需进一步检测预测结果的正确性,将求最值题转化为证明题,降低了原题的难度.13131313

上不等式通过基本不等式.运用对称性,诱发解题灵感

x2y2z2xyz

不难证得 

有些数学问题,用对称的眼光去观察﹑审视,通过形﹑式的补美造成对称或采用对称变换调整元素之间的关系,往往能诱发解题灵感,简化解题过程.例2.若a,b,c表示三角形三边之长,求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)3abc

分析本题关于a,b,c是对称的,这就启发我们将3abc移到左平分给三个加项,即需证:

[a2(b+c-a)-abc]+[b2(c+a-b)-abc]+[c2(a+b-c)-abc] 0 由对称性,我们只需变换上式左边中的某一项,如 a2(b+c-a)-abc=ab(a-c)+a2(c-a)

=a(a-b)(c-a)

于是, 左边其余两项显然为:b(b-c)(a-b),c(c-a)(b-c)

又因为关于a,b,c对称,故不妨假设a b c

此时, c(c-a)(b-c)0

而a(a-b)(c-a)+a(a-b)(c-a)=(a-b)[c(a-b)-(a2-b2)] =(a-b)2[c-(a+b)] 0

从而原不等式获证

.洞察对称性,巧妙转化问题

对于一些数学问题,若能洞察到问题所具有的对称性,往往可将 题巧妙转化,使问题解题思路简捷﹑化难为易﹑避繁就简.例3.自点A(-3,3)发出光线h射到x到轴上,被x轴反射,其反射光

线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线h所在的直线方程

分析 :本题解法颇多,若能运用对称的思想,巧妙转化问题,不难发现原命题即为:”求过点A(-3,3)且与⊙c(x-2)2+(y-2)2=1对称的圆

⊙c¹相切的直线方程”如图,这样的转化不但明确了解题 思路,而且简化了解题计算量,设直线h的方程y-3=k(x+3)则根据⊙c¹的圆心C’(2,-2)到直线h的方程的距离等于⊙c¹的半径1,可求出k=-,从而求出直线方程

'3

'

.剖析对称性,合理准确选择

数学的发现关键阶段------领悟阶段,发现常常是作出选择,就是要抛弃不合适的方案,保留合适的方案,而支配这种选择的就是数学美感,而对称美感往往扮演着重要角色 例4.已知:△ABC的内界圆与外切圆的半径分比别为r和R,则r和R比值等于()

ABCABC

cosB.4sinsincos

222222

ABCABC

C.4sinsinsinD.4coscoin

222222

A.4sincos

分析三角形的边a,b,c或角A,B,C对r和R的影响是相同的, r和R不可能对三角形的某一条边或某个角有选择或特别偏重,因此在比值

r的表达式中,必有边a,b,c或角A,B,C的轮换对称,因此C是正确的 R

怎样预见数学研究成果?如果我们对未来结果一无所知,那么只有凭感觉判制,数学中的对称美感,是我们必须信任的向导.Ⅱ.对称与非对称的联系

寻求对称不是解题的唯一途径,具体问题具体分析才是出路,下面对对称与非对称作一辨证分析.非对称向对称转化

对称的形式容易被感知与理解,均衡协调的结构往往能理顺思路,反之则会干扰思考,这就要求我们使凌乱的非对称的形式转化为对称和谐的结构.(1)根据题目的结构及需要,对原式添加某些项,使其形成对称局面,促使问题求解.例1.设a

n(x,y,z,t)可以取多少不同的值?

评析:如将n(x,y,z,t)再添上两项(x-z)2和(y-t)2则 n(x,y,z,t)+(x-z)2+(y-t)2就转化为关于x,y,z,t的全对称式,故 n(x,y,z,t)的不同值仅依赖于(x-z)2+(y-t)2=(x2+y2+z2+t2)-2(xz+yt)的不同取值,而上式右端第一项(x2+y2+z2+t2)又是全对称的,因此,n取不同的值仅依赖于xz+yt,而它恰有三种不同的值 ab+cd,ac+bd ,ad+bc,事实上(ab+cd)–(ac+bd)=a(b-c)+d(c-b)=(b-c)(a-d)>0

∴ab+cd>ac+bd

同理ac+bd>ad+bc

即n(x,y,z,t)可取三种不同值

(2).根据式子外部特征及某些性质,引进一个新的对称的式子,与原式

配合求解,所引进的新的式子称为对偶式

例2.设a,b∈R+,且1, 求证:对每一个自然数n有(a+b)n-an-bn≧22n-22n-1

12n1

证设d1=(a+b)n-an-bn =Cnan1bCnan2b2Cnabn1

1n2n1

令d2= d1=Cnabn1Cnan2b2Cnan1b

1a1b

d1+ d2=2 d1=

n1n1n2222n1n1

Cn(abab)Cn(ababCn(abab)

12n1

2anbn(CnCnCn)由题设可知 ab 4, 于是 2 d124n(2n2)即d12n(2n2)22n22n1.对称-------非对称---------对称的辨证关系

方法上的对称,形式上的对称,确实能为我们获取信息打开通道,但是没有一个极美的东西是在调和中有着某种”奇异”有的时候抓 住某种”奇异”更能简洁明快的求解.例3.在△ABC中求证sinsinsin

A2

B2

C1 28

12n1

评析: 这里的约束条件A+B+C=∏,将C视为常量(＂奇异＂),此时

CA

为常量, sin为变量,它们地位不同,(打破和谐性),问题转化

ABsisin为求的最大值,因为 22ABAB1AB1AB1

sinsin=(coscos)cossinC当且仅22222222

sin

当A=B时取最大值,同理固定B角,A=C时取最大值,固定A角, B=C时取最大值,呈现出和谐之感,因此只有当A=B=C=



时 3

sin

ABC1

sinsin=(最大)2228

例4.在△ABC中,求sin3Asin3Bsin3C最大值

分析点评:本例形式上与上例3极为相似,用同样的方法展开

sin3Asin3Bsin3C2sin

3(AB)3(AB)

cossin3C 223(AB)2sinsin3C(这里运用放缩法,与上例解法

不对称)

3(AB)3(AB)3(AB)

2sincos 2223(AB)3(AB)

[1cos] =2sin

=2sin

此时sin

3(AB)

可正可负(又与上例解法不对称),不妨设ABC之2

后虽然破坏了A,B,C的对称结构.(他们有大小之别)但为我们解题开拓了思路.∵ABC∴0上式=

3(AB)

 2