初中数学教材中分类思想的探讨_初中数学分类思想

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初中数学教材中分类思想的探讨

亭湖区黄尖初级中学邮编：224049

内容提要: 中学数学的学习, 常常会运用到一些数学思想, 分类讨论的思想方法在初中数学学习中有着广泛应用.在数学概念教学中的分类思想的应用, 数学定理、公式、性质和运算法则进行分类,图形的位置的变化而进行的分类, 定理证明中的分类讨论, 我们要把掌握分类思想,作为一项教学目标纳入教学过程,提高学生的数学思考能力,在教学中要遵循循序渐进,适时渗透,逐步深化的原则,初始阶段,可从学习熟知的数学分类入手,逐步提高.关键词: 数学思想, 分类讨论思想, 概念的分类, 数学定理、公式、性质和运算法则的分类, 图形位置变化的分类, 定理证明中的分类讨论, 运用分类思想,解决数学问题，提高数学素养

在中学数学的学习过程中，我们常常会运用到一些数学思想，而数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。首先，数学思想比一般的数学概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻；其次，数学思想、数学观点、数学方法三者密不可分：如果人们站在某个位置、从某个角度并运用数学去观察和思考问题，那么数学思想也就成了一种观点。而对于数学方法来说，思想是其相应的方法的精神实质和理-1-

论基础，方法则是实施有关思想的技术手段。数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。

在初中阶段对数学知识学习过程中，应将统领知识的数学思想和方法概括出来，增强学生对数学思想和方法的应用意识，从而令学生更透彻地理解所学的知识，提高独立分析问题、解决问题的能力。这是锻炼学生学会学习这种能力的重要途径。

素质教育的主要任务不仅是发展学生的智力，培养学生的能力，还要培养非智力因素和辩证唯物主义等思想，从根本上讲就是要全面提高学生的“数学素养”，培养学生创新意识。而数学思想方法就是增强学生数学观念，形成“数学素养”，树立创新意识的关键，她能使学生在未来的生活和工作中终生受益。新的数学课程标准认为掌握好数学思想方法，是培养学生创新意识，使学生具有一定的数学素养的必要条件。掌握好数学思想方法可以使学生对数学更容易理解和记忆，如果把数学思想方法学好了，在数学思想方法的指导下运用数学方法驾驭数学知识，就能培养学生的数学能力，使数学学习变得更加容易，并能将所学到的知识和方法运用于今后的工作和生活之中。

初中数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本的数学思想方法有：化归思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想等。在这些基本思想方法中，分类讨论的思想由于初中学生认知能力、思维习惯、知识水平和教学内容的限制，学生在运用的过程中感觉到特别困难，但分类思想在中学数学中又有着极其广泛的应用，有必要对其特别加以重视，下面我们就一同来看一看这种数学思想方法在初中

数学教材应用，以更好地利用数学教学来提高学生的素质，使学生在今后的学习、生活中运用这种数学思想方法，来解决实践中遇到的各种问题。

数学分类思想是在研究与解决数学问题时,根据数学对象的本质属性的异同点,将对象分为不同种类,然后逐类进行研究与解决,从而达到研究与解决问题的目的的一种思想方法。分类思想的掌握对研究和解决问题十分有益，因此是科学研究中最常用，最基本的思想方法之

一。它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题。

应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，并力求最简捷。

分类思想有三个明显特点，一是对什么东西分类，即确定分类的对象；二是按什么标准分类，即选择分类的标准；三是分成哪几类，即确定分类的结果。通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。就分类讨论的思想方法在初中数学教材中的应用，大致可以分成下面四种类型。

一、数学概念中的分类思想的应用

1、实数的分类：实数按定义可以分为有理数与无理数；而按大小又可分为正实数、0、负实数。在实数的应用中时常需要就实数的取值进行分类讨论。

2、角的分类，小于180的角按大小可分成锐角、直角、钝角等

3、三角形的分类：在三角形中按角的大小进行分类可以分为锐

角三角形、直角三角形，钝三角形；而按边的相等数来分又可以分成：

（1）三条边都不相等，即一般三角形；（2）有两边相等，即等腰三角形；（3）有三条边相等，即等边三角形。在三角形中又以等腰三角形中的分类讨论的题型最多。

4、四边形的分类：在四边形中按边的平行关系可分为：①两组

对边都不平行，即一般四边形；②只有一组对边平行，即梯形③两组对边分别平行，即平行四边形，而平行四边形中又可分为一般平行四边形和特殊平行四边形：矩形、菱形、正方形等。

5、方程的分类，方程按未知数的个数可分成一元方程、二元方程、多元方程；按未知项的次数可分为一次方程、二次方程、高次方程等。在方程中常常对未知数前面的字母系数的取值分类讨论。

6、函数的分类，初中数学中的函数可分成正比例函数、一次函

数、二次函数、反比例函数等。

二、根据数学定理、公式、性质和运算法则进行分类

a当a0时

1、绝对值的化简a0当a0时

a当a0时

2、二次根式的化简a当a0时a2a0当a0时 a当a0时

23、一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0),当△=b-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b-4ac=0时，2

2方程有两个相等的实数根；当△=b-4ac

4、函数的增减性，（1）在一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）中，如果k>0，那么y的值随x值的增大而增大；如果k

（2）在反比例函数y=k／x（k为常数，且k≠0）中，当k>0时，双曲线的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x 增大而减小；当k

二、四象限，在每一个象限内，y随x 增大而增大。

5、不等式的性质

不等式的性质2不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

根据不等式这个性质在不等式的两边都乘或除以一个数时需要考虑到这个数是正数还是负数。

三、根据图形的位置的变化而进行的分类

1、点与直线的位置关系①点在直线上②点在直线外

2、直线与直线的位置关系：在同一平面内两直线的位置关系有①相交②平行。直线与直线的位置关系中分类讨论的题型并不多见，但它本身就是一种分类。

3、点与圆的位置关系①点在圆外②点在圆上③点在圆内。

4、直线与圆的位置关系①相离②相切③相交。

5、圆与圆的位置关系①外离②外切③相交④内切⑤内含

四、定理证明中的分类讨论

圆周角定理证明中的分类，分三种情况进行讨论。①圆心在角的一边上；②圆心在角的内部；③圆心在角的外部。

通过上述问题的讨论,分类讨论的思想方法在初中数学教材中有着广泛的应用。在运用分类思想解题时主要步骤有：①分析题目中的已知条件，明确所要讨论的对象，确定所要讨论对象的全体；②确定分类标准，正确进行合理分类，做到不重不漏,并力求最简；③对所分类型进行逐级讨论、求解；④归纳小结，得出最后的结论。

当然课本中分类讨论题型很多，在具体的题目中也许多类型，例如在三角形相似中由于对应关系的不明确也可以进行分类讨论，在图形运动中的题目也会有分类讨论，在中考综合题中也会穿插着许多分类讨论的题目，因此有必要在今后的学习和教学的过程中，根据新课程标准的要求,我们要把掌握分类思想,作为一项教学目标纳入教学过程,提高学生的数学思考能力,在教学中要遵循循序渐进,适时渗透,逐步深化的原则,初始阶段,可从学习熟知的数学分类入手,逐步提高.当学生初步理解一些数学分类方法后,适时做好深化、归纳工作，可设计一些含有分类思想的习题，通过专项训练，帮助学生总结一些常见的分类方法，逐步强化分类意识，养成善于分类的思维习惯，便于学生在以后的学习过程中能正确地运用这种思想方法解决好数学问题，并能使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答，这样才能提高学生的数学素养。