第八章多元函数的微分法及其应用_第八章多元函数微分学
第八章多元函数的微分法及其应用由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“第八章多元函数微分学”。
第八章多元函数的微分法及其应用
§ 1多元函数概念
一、设.二、求下列函数的定义域：
1、2、三、求下列极限：
1、（0）
2、()
四、证明极限不存在.证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着 趋于（0，0）时，极限为 ,二者不相等，所以极限不存在五、证明函数在整个xoy面上连续。
证明：当 时。当 时，所以函数在（0，0）也连续。所以函数
在整个xoy面上连续。
六、设 且当y=0时，求f(x)及z的表达式.解：f(x)=，z
§ 2偏导数
1、设z=,验证
证明：，2、求空间曲线 在点（）处切线与y轴正向夹角()
3、设 ,求(1)
4、设 , 求，解：，5、设，证明 :
6、判断下面的函数在(0,0)处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由
连续；不存在，7、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求
（2fx(a,b)）
§ 3全微分
1、单选题
（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的__________
(A)必要条件而非充分条件（B）充分条件而非必要条件
（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件
（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___
(A)偏导数不连续，则全微分必不存在（B）偏导数连续，则全微分必存在（C）全微分存在，则偏导数必连续（D）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：
1）
2）解：
3）解：
3、设，求
解：
=
4、设求：
5、讨论函数 在（0，0）点处的连续性、偏导数、可微性
解：所以 在（0，0）点处连续。，所以可微。
§4多元复合函数的求导法则
1、设，求
解： =
2、设，求
3、设，可微，证明
4、设，其中 具有二阶连续偏导数，求，解：，=,5、设，其中 具有二阶连续偏导数、具有二阶连续导数，求
解：，6、设，，求
解：。
7、设，且变换可把方程=0化为，其中 具有二阶连续偏导数，求常数 的值
证明：
得：a=
38、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1, ,又，求和(1),(a+ab+ab2+b3)
§ 5隐函数的求导公式
1、设，求
解：令，2、设 由方程 确定，其中 可微，证明
3、设 由方程 所确定，其中 可微，求
4、设，求，(，)
5、设 由方程 所确定，可微，求
解：令，则
6、设 由方程 所确定，求()
7、设z=z(x,y)由方程所确定，求 ，,§ 6微分法在几何中的应用
1、求螺旋线在对应于 处的切线及法平面方程
解：切线方程为
法平面方程
2、求曲线在（3，4，5）处的切线及法平面方程
解：切线方程为，法平面方程：
3、求曲面 在（1，-1，2）处的切平面及法线方程
解：切平面方程为
及法线方程
4、设 可微，证明由方程 所确定的曲面在任一点处的切平面与一定向量平行
证明：令，则，所以在（）处的切平面与定向量（）平行。
5、证明曲面）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为
证明：令，则
在任一点 处的切平面方程为
在在三个坐标轴上的截距分别为 在三个坐标轴上的截距的平方和为
证明曲面 上任意一点 处的切平面都通过原点
7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t, 总有
k为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点
证明 ：两边对t 求导，并令t=
1设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：
+ + =0
此平面过原点（0，0，0）
§ 7方向导数与梯度
1、设函数，1）求该函数在点（1，3）处的梯度。
2）在点（1，3）处沿着方向 的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向
解：梯度为, 方向导数达到最大值的方向为，方向导数达到
最小值的方向为。
2、求函数 在（1，2，-1）处沿方向角为 的方向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。
解：：方向导数为，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向，此时最大值为
3、求函数 在（1，1，-1）处沿曲线 在（1，1，1）处的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数。
解：：，该函数在点（1，1，-1）处的方
向导数为，4、求函数 在（1，1，-1）处的梯度。
解：：，§ 8多元函数的极值及求法
1、求函数 的极值。
答案：（，）极小值点
2．求函数 的极值
答案：极小值
3.函数 在点（1，1）处取得极值，求常数a(-5)
4、求函数 在条件 下的条件极值
解：，极小值为
5、欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。
（长和宽2米，高3米）
6、在球面（）上求一点，使函数达到极大值，并求此时的极大值。利用此极大值证明有
证明：令
令，解得驻点。所以函数 在 处达到极大值。极大值为。即，令 得。
7、求椭球面 被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的长度
解：，长半轴，短半轴
第八章自测题
一、选择题：（每题2分，共14分）
1、设有二元函数则[]
A、存在；
B、不存在；
C、存在，且 在(0,0)处不连续；
D、存在，且 在(0,0)处连续。
2、函数 在 各一阶偏导数存在且连续是 在 连续的[]
A、必要条件；B、充分条件；
C、充要条件；D、既非必要也非充分条件。
3、函数在(0,0)点处[]
A、极限值为1；B、极限值为-1；
C、连续；D、无极限。
4、在 处，存在是函数在该点可微分的[]
（A）必要条件；（B）充分条件；
（C）充要条件；（D）既非必要亦非充分条件。
5、点 是函数 的[]
（A）极小值点；（B）驻点但非极值点；
（C）极大值点；（D）最大值点。
6、曲面 在点P(2,1,0)处的切平面方程是[]
（A）；（B）；
（C）；（D）
7、已知函数 均有一阶连续偏导数，那么 []
(A);(B);
(C);(D)
二、填空题：（每题３分，共18分）
1、（0）
２、设，则（）
３、设 则(0)
４、设，则在点 处的全微分.５、曲线 在点 处的切线方程为(６、曲线 在点(1,1,1)处的切线方程为()
三、计算题（每题6分）
1、设，求 的一阶偏导数。
2、设，求此函数在点 处的全微分。并求该函数在该点处沿着从P 到 方向的方向导数(，)
３、设 具有各二阶连续偏导数，求
解：
４、设求 和。
不存在，故 不存在，同理，也不存在。
当 时，有
５、设 由方程 所确定，求()
６、设，具有连续的二阶偏导数，可导，求
７、设 确定函数，求。
８、设，式中 二阶可导，求
解：记，则，)
类似地，有
四、（１０分）试分解正数 为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。设三个正数为，则，记，令
则由
解出。
五、证明题：（１０分）
试证：曲面 上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中 连续可导。证明：曲面在任一点 处的切平面的法向量为
定直线L的方向向量若为，则，即
则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。
