高考数学第一轮复习资料13(导数的概念及其运算)_导数的概念与运算知识

2020-02-28 其他范文下载本文

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第三章导数及其应用

学案13 导数的概念及运算

自主梳理

1．函数的平均变化率

一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－

Δyy0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商________________________＝Δx

函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义

函数y＝f(x)在点x0处的瞬时变化率______________通常称为f(x)在x＝x0处的导数，并记作f′(x0)，即______________________________．

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是过曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))的____________．

导函数y＝f′(x)的值域即为__________________．

3．函数f(x)的导函数

如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，其导数也是开区间(a，b)内的函数，又称作f(x)的导函数，记作____________．

4．基本初等函数的导数公式表

5．导数运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝__________；(2)[f(x)g(x)]′＝______________；

fx(3)gx′＝______________ [g(x)≠0]．

6．复合函数的求导法则：设函数u＝φ(x)在点x处有导数ux′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x处的对应点u处有导数yu′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处有导数，且y′x＝y′u·u′x，或写作f′x(φ(x))＝f′(u)φ′(x)．

自我检测

Δy1．在曲线y＝x2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则()Δx

111A．Δx＋2B．Δx－－2C．Δx＋2D．2＋Δx－ΔxΔxΔx

2x2．设y＝x·e，则y′等于()

2xx2x2A．xe＋2xB．2xeC．(2x＋x)eD．(x＋x)·ex

113．若曲线y＝x－(a，a－处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则2

2a等于()

A．64B．32C．16D．8

－xx4．(2011·临汾模拟)若函数f(x)＝e＋ae的导函数是奇函数，并且曲线y＝f(x)的一条切

3线的斜率是()2

ln 2ln 2A．－B．－ln 2D．ln 2 22

ππ5．(2009·湖北)已知函数f(x)＝f′()cos x＋sin x，则f(＝

________.4

4探究点一利用导数的定义求函数的导数

例1 利用导数的定义求函数的导数：

11(1)f(x)＝x＝1处的导数；(2)f(x)＝.x＋2x

f1＋Δx－f1△Δy解ΔxΔx

△

△y1lim∴f'(1)lim2△x0△x△x11－1Δyfx＋Δx－fxx＋2－x＋2＋Δx(2)＝＝，ΔxΔxΔxx＋2x＋2＋Δxx＋2x＋2＋Δx△x

△y11lim∴f'(x)lim＝－.x＋2△x0△x△x0(x2)(x2△x)

变式迁移1 求函数y＝x＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求出其导函数．

探究点二导数的运算

1ln x例2 求下列函数的导数：(1)y＝(1x)1＋；(2)y＝(3)y＝xex；(4)y＝tan x.x

11解(1)∵y＝(1x)1＋＝x＝x2x2，x

311111∴y′＝(x2)'(x2)'＝x2x2.22

1xlnxln xln x′x－x′ln x1lnx(2)y′＝x′＝＝.22xxx1

1(3)y′＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)．

sin xsin x′cos x－sin xcos x′cos xcos x－sin x－sin x1(4)y′＝′＝＝cos xcosxcosxcosx

变式迁移2 求下列函数的导数：

ln x(1)y＝x2sin x；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝.x＋1

探究点三求复合函数的导数

例3(2011·莆田模拟)求下列函数的导数：

11－cos x(1)y＝(1＋sin x)2；(2)y＝(3)y＝lnx＋1；(4)y＝xe.1＋x2解(1)y′＝[(1＋sin x)]′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′＝2(1＋sin x)·cos x＝2cos x＋sin 2x.122(2)y′＝(1x)



(1x)

232(1x2)'

32x(1x)2

(3)y′＝x＋1)′＝11112x(x＋1)′(x2＋1)－·(x＋1)′2x＋1x＋1x＋121xcocos(4)y'xe(1coxs)e'1xxe()'

e1coxsx[e1

e

1coxsxcos(1coxs)'].xe1xcoinx (1xsixne1)coxs

π122x变式迁移3 求下列函数的导数：(1)y＝(2)y＝sin；(3)y＝x1＋x.31－3x

探究点四导数的几何意义

14例4 已知曲线y＝x3＋.33

(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；

(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．

解(1)∵y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.1414x0，x3(2)设曲线y＝x3与过点P(2,4)的切线相切于点A0＋，33则切线的斜率k＝y′|x33

23421342＝x0＝x20.∴切线方程为y－30＋3＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x0＋ 33

23432322∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－0＋x0－3x0＋4＝0，∴x0＋x0－4x0＋4＝0，33

2∴x0(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为k＝x21，0＝1，解得x0＝±551，(－1,1)．故所求切线方程为yx－1和y－1＝x＋1，故切点为33

即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.变式迁移4 求曲线f(x)

＝x3－3x2＋2x过原点的切线方程．

一、选择题(每小题5分，共25分)

f1－2Δx－f1的值为()Δxx0

A．10B．－10C．－20D．20

22．(2011·温州调研)如图是函数f(x)＝x＋ax＋b的部分图象，则函数g(x)＝ln x＋f′(x)的零点所在的区间是()1．已知函数f(x)＝2ln(3x)＋8x，则lim

111，1A.B．(1,2)C.D．(2,3)422

3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()

A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0

C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0

44．(2010·辽宁)已知点P在曲线y＝α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则αe＋

1的取值范围是（）