本福德定律_奔福德定律

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本福德定律（Benford's Law）在审计中的应用(2008-09-30 15:53:09)

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标签：分类： Accounting&Study

杂谈

笨福特法则

不管是做股票还是做期货、外汇，经常会遇到一些数字。比如公司年报中的会计数字，政府公布的财政数据的等。面对越来越多的造价和虚报，作为普通散户，我的们怎么去识别它们的真伪呢？答案是:学习知识,运用知识的力量。

先讲两个名词：

（1）第一位有效数字：第一位有效数字是指这个数的第一非零数字。例如8.1、81、0.81的第一位有效数字都是8。

（2）本福德法则：任意选择一个真实的数，以十进制的形式表示，则第一位有效数字为ｄ的概率为log10[(d+1)/d]。

当D=1时，对应的概率为 log10 2=0.301。即第一位有效数字为1的概率为30.1％。当D=2时，对应的概率为log10（3/2）=0.1761。即第一位有效数字为2的概率为17.6％。

第一位有效数

字123456789 根据本福德法则计算的结

果30.117.612.59.77.96.75.85.14.6

注意：本福德法则有一个前提:”任意选择一个真实的数”。如果我们精心挑选数据来源可以得到相反的结论。

罗嗦了这么一大堆，本福德法则到底有什么现实意义呢？用本福德法则可以检验公司年报、政府公布的财政数据是否真实。真实的数据应当符合本福德法则。如果我们发现一段时间和一系列的结果与本福德法则有较大出入，就有理由怀疑有人做了手脚。大家有兴趣不妨用本福德法则检验一下你刚刚看好准备买进的绩优股。简单的方就可以辨别真伪。

一个名叫马可.尼格林尼的会计师走得更远，他根据本福德法则的思想发展的一套方法用来检验帐目的真实性。如果有人对帐目做过手脚，利用他的方法可以发现疑点。这种方法被成为“尼格林尼求和法”。你可以依赖经济学家的一件事，就是提供大量数字。对此，你可以谴责一位名叫威廉•佩蒂(William Petty)的人。他率先发展了国民收入帐户的概念，并在1664年得出结论称，英格兰当时的国民收入为4000万英镑。

我们依赖类似佩蒂计算出的数据，来帮助制定政策。

首先计算出的是国内生产总值(GDP)和通货膨胀率，如今则变成了涵盖一切的纷繁复杂的数据，从收入分配到开办一项合法业务需要多长时间。我们依靠这些数据进行政策决策。而通常情况下，我们想当然地认为，这些数据实际上有一定意义。

这个假设值得怀疑。弄虚作假或单纯的无能，都可能会扭曲一些经济或会计数据。若有方法进行检验，当是不错，但我们通常不可能直接这样做。因此，另一种做法是，在数据中寻找那些可能暗示存在问题的规律。

规律之一是本福德法则(Benford’s Law)。1881年，天文学家西蒙•纽科姆(Simon Newcomb)首先发现了这点，随后，物理学家弗兰克•本福德(Frank Benford)在1938年也独立提出了这一理论。故事是这样的，这两位科学家都注意到，对数表书籍的前几页更脏，这表明，人们倾向于查询首位数为1的数字的对数，例如11、134、或17650。本福德随后指出，不管是小镇的人口，还是从《读者文摘》(Reader’s Digest)某一期中收集的所有数据，首位数是1的数字出现的几率是30%。

本福德法则不适用于所有的数据，例如，它不适用于邮政编码或国民保险号码，因为这些数字是由政府官僚程序分配的。但是，各种“自然”过程都应产生符合本福德法则的数据。而且，由于许多衡量数量的单位是任意的（克或盎司、英里或毫米、美元或日元），因此，转换成一个不同的数量单位将保留本福德法则。

举一个例子，设想一个从100亿美元初始价值开始发展的经济体。它必须增长100%，才能让第一位数字发生变化，达到 200亿美元。接着，它只需要增长50%，就能到达下一位，300亿美元，而这种情况发生得可能更快。要从900亿美元增至1000亿美元，只需略超过 10%的增长，但要让第一位数字变回到2，即2000亿美元，它又需要增长100%。这可能说明为什么本福德数据这么普遍，尽管本福德法则适用范围为何如此之广仍无定论。

不管怎样，这一规律是对数据可信性的有用测试。如今担任谷歌(Google)首席经济学家的哈尔•瓦里安(Hal Varian)在上世纪70年代初曾表示，如果经济数据在进入一种经济模型时符合本福德法则，但从这种经济模型出来时不符合本福德法则，那就应该再研究一下这个模型。

会计学教授马克•尼格里尼(Mark Nigrini)在上世纪90年代名扬天下，原因是他利用本福德法则，发现了会计造假、欺诈和逃税行为，例如伪造一些小额发票，金额略低于需要管理层批准的门槛。

圣 路易斯华盛顿大学(Washington University)经济学家约翰•奈(John Nye)和查尔斯•莫(Charles Moul)现在利用本福德法则，考查了一些基本的宏观数据。他们发现，经合组织(OECD)的数据非常符合本福德法则。这表明，GDP数据应符合本福德法则。但非洲的GDP数据则与之不符。我们不可能说，这些不符是缘于弄虚作假或统计部门资金不足。但这提醒我们，某些数据应伴随健康警示。

本福德（FrankBenford）定律（Benford's Law）在审计中的应用

一、本福德定律

对于抽样审计，我们已经进行了详细讲解。抽样审计的方法主要包括随机抽样和重点抽样。随机抽样是采用数理统计与概率论的原理从总体中抽取样本并进行检查；重点抽样是审计人员根据经验和职业判断有针对性的抽取样本并进行检查。我们回顾这两种抽样形式，会发现如下缺点和不足：

（1）随机抽样如果要达到一定精确度，样本必须很大。这对于强调效率、效果和时效性的审计来说，有时可能存在成本高、在预定时间内无法完成任务的情况。审计人员为了在既定时间内完成任务，必然存在大量开飞机（没有执行的审计程序在审计底稿中记录已经执行了）的现象，反而大大影响审计效果。

（2）重点抽样强调审计人员的经验和判断。在审计实务中，一般是根据金额大小、性质严重程度并结合随机抽样方法进行抽样的。这种抽样方法对于总体中样本金额差异大、个体数量少的情况下比较适用，但是对于总体中个体数量多、个体间金额比较均匀的情况则显得很吃力。

那么是否有更好的方法可以祢补这些不足呢？这就是本节要讲的方法，这种方法是随机抽样、重点抽样审计方法的有益补充，该方法就是富兰克•本福德（FrankBenford）定律（Benford's Law）。

本福德早年在通用电器公司（GE）实验室工作，是一名物理学家，二十世纪二十年代发现了一个令人震惊的数学规律，即在任何一组同质随机发生的数据中，排在数据第一或第二位的数字是存有一个可预测到的概率。例如，在一组数据中1排在第一位的概率约为31%，而9排在第一位的概率仅有5%。本福德测试了多种来源的数据组发现存在这样的概率。

本福德定律的含义如下：

一组随机发生的数字，各个数字的首位存在一定规律，越小的数字出现的比率越高，既0出现的概率是100％（实际上首位不可能是0，因此我们可以认为其出现的概率是100％），1出现的概率是31％，2出现的概率是18％，依次类推，9出现的概率只有不到5％。

其实，本福德定律也服从大数法则和中心极限定理，但是其证明比较复杂，这里不赘述。下图是美国物理学家 T.P.Hill 于1998年7－8月试验本福德定律的概率图：

本福德定律的应用条件是：

（1）数据不能是规律排序的，比如发票编号、身份证号码等；

（2）数据不能经过人为修饰。

二、本福德定律在审计中的应用

我们知道，本福德定律的适用条件是数据不能经过人为修饰。如果数据来自舞弊所得到的结果，则这些数据将不再服从本福德定律。注册会计师可以利用本福德定律来发现被审计单位舞弊，提高审计效果。

Benford's Law :大量统计数据中，有效数字的分布概率

P(d)=log(1+1/n)(d=1,2,3...9)

会计等经济领域数据也符合这个规律，如果不符合这个规律的话，就有可能是舞弊的结果。Benford就是对根据数字的出现规律进行舞弊检查。

Leading digits 是指 首位有效数字，也就是左起第一位有效数字。