谈数学中的对称美与应用._浅谈数学中的对称美

谈数学中的对称美与应用.由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“浅谈数学中的对称美”。

Ξ

谈数学中的对称美与应用 蒋红梅

(达县师范高等专科学校数学系,四川达州635000 【摘 要】讨论了数学中的对称美,并给出若干应用。【关键词】数学美;对称性;对称美

[中图分类号]O120

[文献标识码]A

[文章编号]1008-4886(200405-0014-03

古代哲学家普洛克拉斯曾说:“哪里有数学,哪里就有美。”作为科学语言的数学,具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点,即数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美,即数学美。数学美的内容非常丰富,贯穿于整个数学学科中的方方面面。数学的研究对象是数、形、式、向量、矩阵等,就它的表现形式,可以概括为对称美、简洁美、奇异美和统一美。数学教育中,教师有意识地揭示数学中的对称美,可以培养学生的美感和解决问题的能力。数学图形中的对称美是数学美的 重要体现

“为什么把车轮做成圆的?”这个有趣的问题就体现出数学的对称美。对称美,是指组成某种事物或对象的两个部分的对等性,是统一性的特殊表现。几何图形的对称美是对数学对称美最通俗直观的解释。在几何图形中,平行四边形是中心对称的,等腰三角形是轴对称的,圆关于圆心是对称的,关于直径也是对称的;正方形关于其中心是对称的;球形则最为特殊,它既是中心对称,又是轴对称,也是面对称的图形。正如毕达哥拉斯所说:“一切立体图

形中最完美的是球形,一切平面图形中最完美的是圆。”

[1] 又如《解析几何》中的圆柱、圆锥、旋转曲面、椭球面等这些图形都有鲜明的对称性,直观地给人以美的享受。正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称,才构成了美丽的图案,精美的建筑,巧夺天工的生活世界,也才给我们带来丰富的自然美,多彩的生活美。

2数学中的对称美是数学美的基本内容

对称是数学美的基本内容,它给人们一种圆满而匀称 的美感与享受,其实质是数学中对立统一的概念、运算、命

题、图形等在结构与形式方面的体现。几何中的对称图形与其变换是明显对称的,从简单的圆、椭圆、心脏线到各类几何变换群都具有鲜明的对称性,[2]这些对称性是数学形式美的表现,它直观给人以美的享受。然而数学中还有更多的是基本概念、定理、法则的对称性,是数学内容美的表现。

在小学数学中,奇数与偶数,合数与质数,约数与倍数,整数与分数,和与差等都有一种很强的对称美感。几何图形里,三角形中的角与对边,平行四边形的两对边等,都迸发着对称美的光辉。圆被称为最美的平面图形,因为圆具有最多的同一性和对称性。二项式的展开式

(a +b n =C 0n a n +C 1n a n-1b +……+C n-1n ab n-1+C n n b n 中C 0n =C n n ,C 1n =C n-1n ,C 2n =C n-2 n ……,也显出一种对称美。在代数中,三角函数公式sin(α+β=sin αcos β+ cos αsin β,实数a 与-a 互为相反数,复数a +bi 与a-bi

互为共轭复数,这也有着明显的对称性,而古人发现的“杨辉三角”

1

1

510

……

其形式上所具有的对称美是那么的和谐统一,无不让人叹为观止。又如代数中的对称多项式、行列式中的对角形行列式、矩阵中的对称矩阵、线性空间等,都是一种均衡的对称美。

在几何图形中还有一些深层的对称美,如:一条线段关于它的中点对称,这条线段若左端点的坐标为0,右端1Ξ

[收稿日期]2004—04—29 [作者简介]蒋红梅(1978—,女,四川大竹人,达县师范高等专科学校数学系助教,研究方向:基础数学。第14卷第5期达县师范高等专科学校学报(自然科学版

2004年09月V ol.14 N o.5 Journal of Daxian T eachers College(N atural Science Edition Sep.2004 点的坐标为1,那么中点在0.5处。又如:似乎黄金分割点(在ω=0.618处不是对称点,但若将左端点记为A ,右端

点记为B ,黄金分割点记为C ,则 BC C A =C A AB;而且C 关于中点的对称点D 也是AB 的黄金分割点,因为AD DB =DB BA;再进

一层看,D 又是AC 的黄金分割点;C 是DB 的黄金分割 点。类似地一直讨论下去,这可视为一种连环对称。数学中不少概念与运算,都是由人们对于“

对称”问题的探讨派生出来的。比如,和—差,对数运算—指数运算,微分—积分,分解—组合,平行—相交,正比例—

反比例,线性相关—线性无关……一分为二地成对出现,显得稳定、和谐、协调、平衡,真是奇妙动人。数学中大量的恒等变行,如多项式的因式分解、分式的通分、约分、三角函数的简化以及各种方程的同解变形等,都显示了对称美,给人一种对比而相互照应的美感。

对偶定理可看作是较高层次的对称,同样给人一种美的感受。集合运算中的对偶原理:A ∪B =A ∩B ,A ∩B =

A ∪

B ,就其内容和形式来说都很优美。射影几何中著名的迪沙格定理:若两个三角形对应顶点的连线共点,则对应边的交点共线。若把“点”和“线”对偶地变动,即得对偶定理:若两个三角形对应边的交点共线,则其对应点的连线共点。射影几何正是把点和线视为对称的设想下建立起来的,可见,对称性在数学发现和创造中具有重要的美学因素。《规划论》中的对偶原理也可以看作是较高层次的对称,为我们解决对偶问题提供了一种解题方法———对

偶单纯形法。

[3] 3数学中对称美的应用

3.1 数学中对称美在几何中的应用

在几何中,我们利用数学中的对称性,建立适当的坐

标系,可以使运算简单,所得的曲线曲面的方程简洁明了。比如椭圆(如下图: 图1图2(图1:任意建立坐标系,图2:取两定点F 1,F 2所在直 线为X 轴,线段F 1F 2的垂直平分线为Y 轴,建立直角坐 标系

比较之下,我们发现:图1让我们漫无头绪,图2中,我们看到图形的对称美,萌发了解题的思路。设F 1(-c , 0、F 2(c ,0,M(x ,y 为椭圆上的任意一点,由定义可以 得到曲线的方程x 2 a 2+y 2 b 2=1(a >b >0。在三维立体空间

中,我们将图2中的椭圆绕X 轴旋转,得到长形旋转椭球面。而在方程x 2 a 2+y

2b 2=1(a >b >0中保留坐标X 轴不

变,用±y 2+z 2代替y ,便得椭圆绕X 轴旋转的曲面方 程:x 2 a 2+y 2 b 2+z 2 b 2=1。由此可见,数学中的对称性不仅推 动了数学的发展,而且使数与形结合得更紧密。3.2 数学中的对称美在定积分中的应用[4] 在计算旋转体、立体图形的体积时,我们运用数学中的对称性使计算简捷。比如圆锥体(图3: 图3 设圆锥体的高为h ,底圆半径为r ,由图可知圆锥体关于x 轴对称,于是我们可以将它看作是由平面图形0≤y

≤r h x ,x ∈[0,h ]绕x 轴旋转一周而得。截面面积函数π(r h

x 2是连续函数,从而在[0,h ]上可积,所以其体积为V =π∫h 0(r h x 2dx =13 πr 2h。3.3 数学中的对称美在规划论中的应用

在现代生活中,我们常常遇到这样的问题:⑴利用有限的资源(人力、物力、财力去完成最大的任务,⑵利用最少的资源完成规定的任务。这两类问题就是《规划论》中的对偶问题,我们把问题⑴视为原问题,问题⑵视为原问题的对偶问题,由于它们具有对称性,我们要求原问题的最大值,就是求对偶问题的最小值;要求对偶问题的最小值,就是求原问题的最大值。当原问题的约束条件不等式的个数比决策变量的个数多时,用求解对偶问题代替原问

题的求解,可使计算量大大减少。

孔子曾说:“知之者不如好之者,好之者不如乐之者。”如果教师能在教学中采用“寓教于乐”的形式,学生的学习积极性将会大大的调动起来。而“乐”的前提是“美”,所以“寓教于乐”实际上是“寓教于美”。因此,在数学教育中,教师应该挖掘数学中对称美的因素,引导学生去发现、欣

赏、创造数学美,从而培养和发展学生的数学美感,促进学生创新素质的发展。5 1蒋红梅:谈数学中的对称美与应用2004年第5期 参考文献: [1]张双德,王呈义.数学教育学[M].山东:石油大学出版社,1993.[2]梅向明,刘增贤,林向岩.高等几何[M].北京:高等教育出版社,1998.[3]何 聪.规划论[M].成都:四川大学出版社,2001.[4]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001.[责任编辑 王良成] T alking about Symmetrical Aesthetics in Mathematics and Its Application J I ANG H ong2mei(Department of Mathematics,Daxian T eachers C ollege,Dazhou S ichuan635000,China Abstract:In this paper we study the symmetrical beauty of mathematics,and give its applications.K ey words:Mathematics beauty;symmetrical;symmetrical beauty.(上接第7页

[5]Feng W,Webb S.R.L,S olvability of a m-point boundary value problem with nonlinear growth[J].Math.Anal.Apll,1997,212(2:467~480.[6]Ma R.Y,P ositive s olutions of a nonlinear three-point boundary value problem[J].E lectronic journal of differential equa2 tions,1999,34(1:1~8.[7]吴红萍.二阶三点方程组的正解存在性[J].数学杂志,2002,22(4:435~438.[8]郭大钧.非线性泛函分析[M].济南:山东科学技术出版社,1985.[9]郭大钧,孙经先,刘兆理.非线性常微分方程泛函方法[M].济南:山东科学技术出版社,1995.[责任编辑 何 聪] The Existence and Multiplicity of Positive Solutions for a Cla

of Second-Order P-Laplacian Operator Systems CHE N Shun2qing(Department of Math,Daxian T eachers C ollege,Dazhou S ichuan635000,China Abstract:In this paper,we show the existence and multiplicity of positive s olution for a cla second-order p-laplacian operator system via the fixed point theorem on cone.K ey words:P-Laplacian operator;cone;fixed point;positive s olutions systems 61 2004年第5期蒋红梅:谈数学中的对称美与应用