《泛函分析》课程学习要求_泛函分析课程重点
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《泛函分析》课程学习要求
课程英文名称： FunctionalAnalasisy
课程编号：405012080适用专业：
学时数：44学分数：4执笔者：郝 英
一、总体要求
要求学生比较系统地理解泛函分析的基本概念、基本结论,具备一定的概括能力、计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力；并能综合运用理论知识解决实际问题。
二、具体内容
1、度量空间和线性赋范空间
（1）深刻理解度量空间的相关概念，能够验证度量定义中的三个条件；熟悉常见的度量空间及在其上度量的定义；
（2）掌握稠密性与可分性的概念并且能够证明稠密性与可分性；通过学习度量空间的完备化定理能够证明一些空间的完备性；
（3）熟悉第一及第二类型的集、闭集套定理、准紧集、紧集、全有界集、有限开覆盖、有限交性质、不动点的概念；
（4）掌握并理解压缩映射定理及其证明思路；
（5）掌握线性赋范空间、巴拿赫空间等概念，深刻理解依范数收敛及范数的几个性质。
2、线性有界算子和线性连续泛函
掌握线性算子、线性泛函、线性有界算子、线性算子空间、共轭空间等概念，能够验证算子的线性性质和有界性。
3、内积空间与希尔伯特空间
（1）熟练掌握内积空间的相关概念以及常见希尔伯特空间中内积的定义；理解內积导出的范数；
（2）自伴算子、酉算子、正常算子的概念，（3）掌握并会应用施瓦茈不等式正交定义、投影定理、直交系，会应用贝塞尔不等式等。
4、巴拿赫空间中的基本定理
（1）熟练掌握巴拿赫空间中基本定理的内容，了解它们的证明思路；
（2）第一纲集第二纲集Bair纲定理；
（3）强收敛、弱收敛和一致收敛，三种收敛性之间的关系。
三、需提交的材料
1、最后交一篇学习泛函分析中某些概念的理解或学习心得。
1.设X,d为距离空间。证明：d2.（1）收敛点列为柯西列。（2）柯西列为有界列。 dx,y也是距离。 1dx,y（3）有收敛子列的柯西列是收敛列。3.（1）叙述压缩映射定理。（2）作业的应用。4．证明：u,vau(x)v......
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