线性代数习题2_线性代数习题答案2

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第2章

线性方程组

练习题

1、已知 1 =(1 , 1 , 0 , 1)T，2 =(2 , 1 , 3 , 1)T，3 =(1 , 1 , 0 , 0)T，4 =(0 , 1 , 1 , 1)T， =(0 , 0 , 0 , 1)T，（1）求向量组 1，2，3，4 的秩，（2）判定  是否可以表为 1，2，3，4 的线性组合，说明理由。（4，可以）

2、设向量组 1 =(1 , 1 , 1)T，2 =(1 , 2 , 3)T，3 =(1 , 3 , t)T，求（1）当 t 为何值时，1，2，3 线性无关？（2）当 t 为何值时，1，2，3 线性相关？此时将 3 表为 1 与2 的线性组合。

（t  5 时，1，2，3 线性无关；t = 5时，1，2，3 线性相关，且 3 = 1 + 2

2）

3、确定  为何值时，向量  =(0 , 1 , )T 可以表为向量组 1 =(1 , 2 , 3)T，2 =(2 , 1 , 1)T，3 =(1 , 1 , 2)T，4 =(2 , 1 , 1)T 的线性组合，并求出一个具体表达式。

（ =1； = 1 + 2 + 3 + ）

k11k3

4、设 11，2k，31，2，讨论 k 为何值时，（1） 不能由 1，1k122，3 线性表出；（2） 能由 1，2，3 线性表出，且表示法唯一；（3） 能由 1，2，3 线性表出，且表示法不唯一，并求出一个具体表示。

（（1） 2；（2）k  1且 k  2 ；（3）1， = 2 ）

5、已知向量组 1 =(1 , 0 , 2 , 3)T，2 =(1 , 1 , 3 , 5)T，3 =(1 , 1 , a+2 , 1)T，4 =(1 , 2 , 4 , a+8)T 及  =(1 , 1 , b+3 , 5)T，求（1）a、b 为何值时， 不能表示成 1，2，3，4 的线性组合；（2）a、b 为何值时， 有 1，2，3，4 的唯一线性表示式，写出该表示式。

（当 a = 1 且 b  0 时，不可以；当 a  1 时，有唯一的线性表示式

2bab1b1230

4）a1a1a1

6、已知 1 =(1 , 2 , 3 , 1)T，2 =(5 , 5 , a , 11)T，3 =(1 , 3 , 6 , 3)T， =(2 , 1 , 3 , b)T，问（1）a、b 取何值时， 不能由 1，2，3 线性表示？（2）a、b 取何值时， 可以由 1，2，3 线性表示？并写出表示式。

（b  4 时，不能；b = 4 且 a  12 时，唯一表示： = 1 + 0  2 + 3 ； b = 4 且 a = 12 时，表示不唯一： =(12c)1 + c 2 +(13c)3（c 为任意常数））

7、设向量组 1 =(2 , k , 1)T，2 =(k1 , 1 , 2)T，3 =(4 , 1 , 4)T 线性相关，求k 值。（k = 1 或 k = 9 / 4）

8、设 n 维（n > 1）向量组

1 =(0 , 1 , 1 , … , 1 , 1)T，2 =(1 , 0 , 1 , … , 1 , 1)T，…，n =(1 , 1 , 1 , … , 1 , 0)T，试判断该向量组是否线性相关。（线性无关）

9、已知向量组 1，2，…，s（s  2）线性无关，设 1 = 1 + 2，2 = 2 + 3，…，s1 = s1 + s，s = s + 1，讨论向量组 1，2，…，s 的线性相关性。

（s 为奇数时，线性无关；s 为偶数时，线性相关）

10、设向量组 1，2，3 线性无关，问常数l，m满足什么条件时，向量组 l2  1，m 3  2，1  3 线性无关。（l m  1）

11、设向量组 1 =(1 , 2 , 1 , 1)T，2 =(2 , 0 , t , 0)T，3 =(0 , 4 , 5 , 2)T 的秩为 2，求 t 的值。（t = 3）

12、设向量组 1，2，3，4，5，其中 1 =(1, 1, 2, 4)T，2 =(0, 3, 1, 2)T，3 =(3, 0, 7, 14)T，4 =(1, 2, 2, 0)T，5 =(2, 1, 5, 10)T。求（1）向量组 1，2，3，4，

5的秩；

（2）找出向量组的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示。

（3；1，2，4 为其一个极大无关组，3 = 31 + 2 + 0  4，5 = 21 + 2 + 0  4）

13、已知向量组 1 =(1 , 1 , 1 , 3)T，2 =(1 , 3 , 5 , 1)T，3 =(3 , 2 , 1 , p+2)T，4 =(2 , 6 , 10 , p)T，问：

（1）p 取何值时，向量组 1，2，3，4 线性无关？试将向量  =(4 , 1 , 6 , 10)T 用 1，2，3，4 线性表出。

（2）p 取何值时，向量组 1，2，3，4 线性相关？求出 1，2，3，4 的一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示。

（p  2时，线性无关，213p41p234；P = 2 时，线性相关，极大无关p2p2组：1，2，3，且 4 = 0 1 + 22 + 0  

3）

kx12x2x30

14、已知齐次线性方程组 x1x2x30 有非零解，求 k 的值。（2 或 3）

2xkx02115、设 3  4 矩阵 A 为一齐次线性方程组的系数矩阵，且 r(A)= 2，又已知 1 =(1 , 1 , 3 , 1)T，2 =(1 , 1 , 1 , 3)T，3 =(5 , 2 , 8 , 9)T，4 =(1 , 3 , 1 , 7)T 均为该齐次线性方程组的解。试求它的一个基础解系，并将其余解表为该基础解系的线性组合。

37（基础解系：1，2 ；且 312，4 = 1 + 2 ）

2216、已知向量组 1 =(1 , 2 , 1 , 0 , 0)T，2 =(1 , 2 , 0 , 1 , 0)T，3 =(0 , 0 , 1 , 1 , 0)T，x1x2x3x4x503x2xxx3x0123454 =(1 , 2 , 3 , 2 , 0)T 都是下面齐次线性方程组的解：，判断

x2x2x6x023455x14x23x33x4x501，2，3，4 是否为该方程组得一个基础解系？若是，说明理由；若不是，在此向量组的基础上进行适当增减后，构成一个基础解系。

（不是。基础解系为：1，2，，其中  =(5 , 6 , 0 , 0 , 1)T）

x412x1x2

17、用基础解系表示下列方程组的全部解 x13x27x34x43。

3x2xxx22341011121（c1c2，c1、c2 为任意常数）

010001 11x111A2a2b2B3X

18、设 x2，试就 a、b 的各种取值情况，讨论线，，x03aa2b33性方程组AX = B 的解，如果有解，求出其解。

（当 a = 0 时，无解；当 a  0 且 a  b 时，有唯一解：x11且 a = b 时，有无穷多解：x11

19、已知非齐次线性方程组 AX = B 的增广矩阵A 经初等行变换化为如下形式：

11,x2,x30 ；当 a  0 aa11,x2c,x3c，c 为任意常数）aa10AA,B00写出它的全部解。04120k800120011，讨论 k、t 取何值时方程组无解，有解；当有解时，0t2141122（当 t  2 时，无解；当 t = 2 且k = 8 时，全部解为 c1c2，c1、0100011112c2 为任意常数；当 t = 2 且k  8 时，全部解为 c，c 为任意常数）

0001

x3x40x1x2x22x32x4120、当 a、b 为何值时，线性方程组  无解，有唯一解和无穷多

x(a3)x2xb234x3ax413x12x2解？在方程组有无穷多解时，用其导出组的基础解系表示出线性方程组的全部解。

（a = 1 且 b  1 时，无解；a  1 时，唯一解；a = 1 且 b = 1 时，无穷多解：111122c1c2，c1、c2 为任意常数）

010001

x1x2kx34

21、讨论k为何值时线性方程组x1kx2x3k2 无解，有唯一解，有无穷多解？在有无

xx2x4231穷多解的情况下，用基础解系表示其全部解。

03（当k = 1时，无解；当k  1且 k  4时，唯一解；当k = 4时，无穷多解：4c1，01c为任意常数）

22、设四元非齐次线性方程组 AX = B 的系数矩阵的秩为 3，已知 1，2，3 为它的三个解向量，其中 1 =(2 , 0 , 5 , 1)T，2 + 3 =(2, 0, 2 , 6)T，试求该方程组的全部解。

2200（c，c为任意常数）

51218

23、已知矩阵 A 是元非齐次方程组的系数矩阵，且 r(A)= 3，1，2，

3是该方程组的三个不同解向量，其中 1 + 22 + 3

=(2 , 4 , 6 , 8)T，1 + 23 =(1 , 3 , 5 , 7)T，试求 4 元非齐次方程组的全部解。（（24、设 A 为 3  4 矩阵，r(A)= 2，且已知非齐次线性方程组 AX = b 的三个解为 1 =(1 , 1 , 0 , 2)T，2 =(2 , 1 , 1 , 4)T，3 =(4 , 5 , 3 , 11)T，求：（1）齐次线性方程组 AX = 0 的通解；（2）用基础解系表示出 4 元非齐次线性方程组 AX = b 的全部解。

（ = c1(2  1)+ c2(3  2)= c1(1 , 2 , 1 , 2)T + c2(2 , 4 , 2 , 7)T，c1、c2 为任意常数； = 1 +  =(1 , 1 , 0 , 2)T + c1(1 , 2 , 1 , 2)T + c2(2 , 4 , 2 , 7)T，c1、c2 为任意常数）

25、已知 1 =(1 , 2 , 0)T，2 =(1 , a+2 , 3a)T，3 =(1 , b+2 , a+2b)T， =(1 , 3 , 3)T，当 a、b 为何值时，1，2，3 是 R3 的一组基？并求  在这组基下的坐标。

a11（a  0 且 a + 5b + 12  0；，0）

aa13，1，2)Tc(2,0,2,4)T，c 为任意常数。）2226、在 R3 中给定两组基：1 =(1 , 1 , 0)T，2 =(0 , 1 , 1)T，3 =(1 , 1 , 2)T ；1 =(1 , 0 , 1)T，2 =(0 , 1 , 1)T，3 =(1 , 1 , 4)T，求非零向量 ，使它在上述两组基下有相同的坐标。

（ = c(0 , 1 , 1)T，c 为任意非零常数）

x4x50x1x2x32x50，求其解空间的一组正交基。

27、设齐次线性方程组 x1x2x3x4x50121，1，0)T，(1 , 0 , 1 , 0 , 1)T）（(1 , 1 , 1 , 0 , 0)T，(，33328、设 1 =(1 , 2 , 2)T，2 =(2 , 4 , 4)T，3 =(1 , 0 , 1)T，4 =(2 , 2 , 3)T，5 =(5 , 3 , 7)T

 R3，求（1）R3 的子空间 L(1，2，3，4，5)的维数和一组标准正交基。（2）1，2，3，4，5 在这组标准正交基下的坐标。

222112（dim L(1，2，3，4，5)= 3，,,，,,，333333122,,；(3 , 0 , 0)，(6 , 0 , 0)，(1 , 1 , 0)，(4 , 1 , 0)，(1 , 1 , 9)）

33329、设向量组 1，2，3，其中

1 =(1 , 1 , 0)T，2 =(1 , 0 , 1)T，3 =(1 , 1 , 1)T，并且 1 与 2 线性无关，3 与 1，2 相互正交，（1）试判断 1，2，3 是否为 R3 上的一组基；（2）如果是，将其化为 R3 上的一组标准正交基。

1,（是；21TTT11,0，,,266T12,，63T13,1）3T30、证明题

x12x22x30（1）设方程组 2x1x2x30 的系数矩阵为 A，三阶矩阵 B  0，且满足 A B = 0，求3xxx0231① 参数  ；② 该方程组的全部解；③ 证明行列式  B  =0。

（1； = c(0 , 1 , 1)T，c 为任意常数）

（2）设实矩阵 Amn（n

（3）设 A 为 n 阶非零矩阵，求证：若存在一个 n 阶非零矩阵 B，使 A B = 0，则  A  = 0。

（4）设 A 为 m  n 矩阵，B 为 n  m 矩阵（m

（5）设向量组 1，2，3 线性无关，证明：向量组 1 + 2，32 + 23，1  22 + 3 线性无关。

（6）求证：n 维向量组 1，2，…，n 线性无关的充要条件是 n 维标准向量组 1，2，…，n 可以由 1，2，…，n 线性表示。

（7）设 1，2，…，s 为一组 n 维向量（s  2），且向量组

123s213s，求

s12s1证：向量组 1，2，…，s 线性无关的充分必要条件是 1，2，…，s 线性无关。

（8）设 1，2，…，m 为一个 n维向量组，已知 r(1，2，…，s)= r(1，2，…，s，s+1，…，m)，求证：{ 1，2，…，s } { 1，2，…，s，s+1，…，m }。

（9）已知向量组 1，2，…，m+1（m  1）线性无关，向量组 1，2，…，m 可表为 i = i + t i m+1（i = 1，2，…，m），其中 t i（i = 1，2，…，m）是数。证明：向量组 1，2，…，m 线性无关。

（10）设向量组 1，2，3，…，n 的前 n  1 个向量线性相关，后 n  1 个向量线性无关，证明：① 1 能由 2，3，…， n1 线性表示；② n 不能由 1，2，…， n1 线性表出。

（11）设向量  可由向量组 1，2，…， r  1， r 线性表示，但向量  不可由向量组 1，2，…， r  1 线性表示。试证：向量组 1，2，…， r  1， r 与 1，2，…， r  1， 有相同的秩。

（12）设 1，2，3 是某个向量组的极大无关组，1，2，3 是此向量组的部分组，并且 1 = 1 + 2 + 3，2 = 1 + 2 + 23，3 = 1 + 22 + 33。证明：1，2，3 也是此向量组的极大无关组。

（13）设向量组 1，2，…，m 线性无关，向量 1 可由该向量组线性表示，而向量

2 不能由该向量组线性表示，证明：m + 1 个向量 1，2，…，m，l 1 + 2

（l 为常数）线性无关。

x1x2xx4（14）在线性方程组3x1x3x2x4a1a2中，a1a2b1b2。求证：方程组有解，并用其导出组b1b2的基础解系表示其全部解。（ =(a1  b2 , b2 , a 2 , 0)T + c(1 , 1 , 1 , 1)T，c 为任意常数）

（15）设 1，2，3 是齐次线性方程组 AX = 0 的一个基础解系，证明：1 + 2，2 + 3，3 + 1 也是该齐次线性方程组的一个基础解系。

（16）设  是非齐次线性方程组 AX = b 的一个解，1，2，… ,  n  r 是其导出组 AX = 0 的一个基础解系，证明：1，2，… ,  n  r， 线性无关。

（17）设  是非齐次线性方程组 AX = b 的一个解，1，2，… ,  n  r 是其导出组 AX = 0 的一个基础解系，且 1，2，… ,  n  r， 线性无关，证明： + 1， + 2，… ,  +  n  r， 线性无关。

（18）证明：正交向量组是线性无关的。

AO（19）如果 A 与 B 分别是两个 n 阶正交矩阵，证明：分块矩阵C OB 是正交矩阵。

