袁晖坪线性代数教材习题答案提示_线性代数教材课后答案

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第一章 行列式与Cramer法则

第一章知识清单 1.行列式定义：

a11a21an1a12a21an2a1na2nannnn12nk1i,ji1i2inj1j2jnaijai112j2ainjn

说明1）iiitktiikk1, ti：在ikk左边比i打的数的个数.k

说明2）：行列式中每行均由不同行不同列的元素之积构成2.计算方法

n基本方法： 1）化为三角式；2）降阶法：aikAjkk1D0ijij

常用方法：

利用定义或性质，拆解法，升阶法，递推法。特殊行列式：上三角式，对角式，范德蒙行列式。

3.行列式性质（5条）

行列等同；两行互换值相反；数乘行列式；行列式加法；第三种初等行变换不改变行列式的值。

4.克莱姆法则/ 14 a11x1a12x2a1nxnb1a21x1a22x2a2nx2b2axaxaxbn22nnnnn11DnD1D2x，, 即：Anxb.解：，DAn.DDDT推论：Anxo有非零解An0.基本作业建议 A组：1，4，6（1），7（1），8, 10(1)； B组：一（1），（6）；二（3），（4）

一（A）4（1）：列标：54243，表明第四列有两元素：否;(2): 一（A）5：1234112453145213.a12a23a34a41,1a22143a12a21a34a43.2r32r2r43r2b2c2da2b2c2d2rir1一（A）6(5)：Di2,3,42a14a46a92b14b46b92c14c46c92d14d46d92a1262b1262c1262d1260

一（A）7(1)，(2)：同6（3），见课件例1.15—1.18。四种方法：

ncii1方法一：DD1上三角式；

提公因式rir1rir1i2,3,,n方法二：D箭形行列式

i2,3,,n10方法三：D加边a1a1ba1a1a1a2a2a2ba2a2a3a3a3a3ba3anananananb1a1b000a20b00a300b0an000brir1,i2,3n0001111



a1拆解a2a2ca2a2a3a3a3ca3anananancc000a2a2ca2a2a3a3a3ca3ananananca1a1方法四：Da1略./ 14 一（A）7（3，5，6，7）同类型，见课件与课本例题1.9：。

ncii1c1（3）：方法一：DD1下三角式cjcj1，方法二：Dnb1Dn1+下三角式递推式c1，方法三：Dn下三角式

j2,3,,ncjc1ajbj1cj1（5）：方法一：Dnb1Dn1+下三角式递推式，方法二：Dn下三角式

j2,3,,n（6）：方法一：DnA+对角式，A对角式.方法二：Dn次下三角式

j2,3,,nc1rn1c1cnba（7）：课本例题1.12 一（A）7（4）：拆解。

一（A）7（8）：见课本例题1.15.一（A）10：系数行列式=0.要求：耐心，细致！

4cii1rir1i2,3,4r2r3一（B）1（3）：DD1D2上三角式

4ci，i1D1三角式 一（B）1（4）：D1rrxc1412r131r,rr一（B）1（5），类一（A）5：

r12r4r2r4r3r4c1定义DD1D21其中:1132132x2x12x+=2x3

132x2x12x1a11a23a32.一（B）1（6）（7）（10）同课本例题1.15： 一（B）1（11）类同 一A(10)

1一（B）2（1）特例法：取aijij,即aij0一（B）2（2）类一（B）1（5），由定义：

ijijm0,

324113142112211221

一（B）2（3）：排除法。请记忆结论（D）一（B）2（4），同一（A）10 3 / 14 一（B）3（1），参见课件例1.18。类一（A）7（1），（2）：方法一：D箭形行列式；

各列提公因式rir1,i2,3,,n方法二：加边；方法三：拆解.cjcj1一（B）3（2）：

DnAnBn1Cn1对角式jn,n1,,2,1i2,3,,nc1rir1cn1。

第二章 矩阵

第二章知识清单

1.矩阵的线性运算（加法与数乘）与矩阵的乘法

注意：矩阵乘法无交换律与消去律.2.矩阵的逆与线性方程组的矩阵解法

1）有关公式：

AAAEA*1A；(AB)1B1A1;(kA)A1*11kA1

AAA1mnmn,AmZmnnAkmnm,nZ，由此得：

1APP,f(A)kmakA,f(A)Pf()Pkkk.diag(1,2,,n)f(A)Pf()P1diag(1,2,,n),kZ

kdiag(f1,f2,,fn).2）有关方法：

求逆矩阵：直接用定义（例：待定系数法）；伴随阵法；初等变换法。/ 14 解矩阵方程：

逆矩阵法:AnXBXAB.初等变换法：1）A2）AXBn1XB1E,AB,XAn,BrAB.BEXA.11行最简形,选择自由未知量，给出方程的解（最佳形式）.A,Br3.转置阵的性质

基本作业建议 A组：4，6，9，10（4），14，15，17，18，19，24，28，29（4），（5）；B组：一（2），（6），（7）；二（1）——（9）

a二（A）7：Bcba,ABBABdc0,a,c可任取.a二（A）10 ：方法一，归纳；方法二，二项式定理.10例：10（4）0310002n100010000020300000nABn2BO

二（A）16 ：akbkabak1ak2bak3b2abk2bk1

EAEAEAkk1Ak2AE

二（A）17：问：A？EAA2EE4E.二（A）18：AAAE**A*11AA

二（A）19：AA5A13A1111*1*AA3AAA3AA AA5531AA311282E3AE5E5E.A55255二（A）20：AB2ABAEB2A2AE2EAEB2E2E(略）./ 14 c2c3c1c2c1二（A）23(1): 原式3A13c132c22c1c23.(2):

原式2A12c1.c1c2c3c3c1(3):原式25c1A1,A23A3,2A3A1A.3c22c31二（A）26:AXA2XXA2EA,XA2E二（A）28:A1BA6ABAE,A2EA2E,ArE,A2EA,A2E,Ar11A.1A1EBA6AB6AA,A1E可逆E1,A.3二（A）30:由一（A）7（1）:Ak3k1，检验知：k3M140，合题意.1r2r1A0二（A）31:类30：r3kr1022k22k2r3r23k3233k3k100r22k202003k3.233k3k330rA1;03k12233k3k33kk23k2k1k1A~001k2A~00r260r69rA2;01k1且k2A~00二（B）1（1）：B二（B）1（2）：122k20；

T3k3rA3.233k3k33kB1T2TTT3T3T Tn3n1.T二（B）1（3）：分块对角阵。

二（B）1（4）：BAE2E.6 / 14

30203a101210.1二（B）1（5）：A可逆,0100110二（B）1（6）：B可逆，于是：rBArA.二（B）1（7）：AAAE*A*11A1AA

二（B）1（7）：AAAE二（B）1（8）：方法一，归纳； *A*1A

方法二：，AEE1,3A2E22EE1,3E1,32EE1,32A

即A22A，An2n1A，An2An1An2A22AAn2OO。二（B）1（9）：类二（B）（2）： Aa2aEAnn122T322T2AA2nn1A，0a02n120n10a2n1aa2.n二（B）1（10）：设a,b,cT二（B）2（1）：排除法 二（B）2（2）：方法与答案同上 二（B）2（3）：利用对称阵的定义与性质 二（B）2（4）：排除法 二（B）2（5）：ABC.二（B）2（6）: AB1Ta2bacaabb2cbac1bc12c11111T2221，abc3 11A1B1?

*二（B）2（7）: rA3Aij0又rA3AAAE0

rArA4,综上得：rA1, **二（B）2（8）: A*A**AEA*n1***EAAAAn1A.二（B）2（9）: 初等变换不改变矩阵的秩A0B0.二（B）2（10）: EAEAE矩阵多项式EA不可逆.33 7 / 14

O二（B）2（11）: CBA11**1CCCCC.OCC1行,列交换各n次2nAOOBAB,C1O1AO1BO1*AA*BB. O1O*CAB1*AA*BBOBA*O1*AB.O二（B）2（12）: PE1,21,P

二（B）3(1): 二（B）3(2): T1E1,21CE1,21AE1,21PAP1.262T

AEBE,BAE1A2EBAE检验知：AE可逆.二（B）3():(略)

二（B）3(4)，第一小题:A1,2,,nTTTT1,2,,n

AAAi2TjOijii0i0AO.二（B）3(4)，第二小题: 二（B）3(4)，第三小题:

XBA2n1TA2n1A2n1A2n1TA2n112n1A2n1A2n10.A1TAT1A.1二（B）3(5)：A1OC11X1CBX1O待定系数法.1C1二（B）3(6)：EABE,CEAABEABCEA1,CAEA

1EA1E.1A.二（B）3(7)：2AB*1AB1A2AB*1A2AB*11A2AB12AnAB.另解：2AB*12nA*2An11B 8 / 14 二（B）3(8)：A1EXA2AX2A1E.二（B）3(9)：AAEA2EEA1?EA二（B）3(10)：第一小题:AEEBE.二（B）3(10)：，第二小题 AEBBABBE.111111AE1?

11111二（B）3(11)：AABBABABAABBBAB二（B）3(12)：EABET1ET1E1T1T2

aaa111T0a1.。aaT二（B）3(13)：CT2EA1B1A1A2EA11B2AB1.c7c312c11二（B）3(14)：2c22c3cc232原式7721,12,223

21,2,23722A.二（B）3(15)：更正：PEOTA*A.证：APQTAEAA*AbTA* AATA.ObTA*AbTA1 AOP可逆，于是:Q可逆PQ可逆AbTA10bTA1.二（B）3(16)：B0rArAB=2A=0a2./ 14 A.第三章 向量与线性方程组

基本作业建议 A组： 5，7（奇数），8，12，14，17，21，22；B组：一（2），（6），（8），9；二（1）——（11），其中（8）题以去掉“不”。

1三（A）2(2)：B1312213a1340r2r1,r33r11b10011112a31210r3r21b10011012a11230 1b11a1B~00r1101201230r1r21b11000101201231 1b111k,k可任取.10b1b2b2x1kk1x11x3x4333x212x32x42b112b12bkx212k,x3x3x333xkb103x4b1b13x433 10 / 14

1a1时，B~00r11012a1123x11x3x40x212x32x4 1xb13x43b1a1a1x4x43kb12aba4x1k1a1a1a1a13a2b82a3kb12k x212,xka1,k可任取.a1a1a1b13b13kx3a1a1a1a101xk4三（A）5(1)方法一（初等变换不改变列向量组的线性相关性）：

11B1,2,3,=1231010213242r1,r3r1rr42r13710003235021326 51110r4r2r3r2r3,r33r200rBrA,3100014021r3,r2r314r1r280100001000010112

03123,表达式是唯一的。

方法二（线性表出的等价命题）：设A1,2,3,xk1,k2,k3,则k11k22k33Ax，11BA,=12310102132140~3070010000101k111xk1，即有：2，得唯一解： 2k130T123,表达式唯一存在。

1B,,,=1三（A）5(2)： 1232 11 / 14

1232352r2r1,r32r13r3r2110011021025 01r1r20001011075,712, rBrA,23,表达式不唯一.01017证明如下：设k11k22k33,则k1k2k3.0115k1解得：k2k37k5k,7k1k2k3,k可任取.k三（A）6（1）： rARA,3,三（A）6（2）： rARA,, 三（A）6（3）： rARA,3,? 三（A）7: RAn(向量的个数）三（A）8(1): B12,23,34,421~A1,2,3,4.CrBrA4,B:12,23,34,421线性无关.1243o,23,34,41, 三（A）8(2): B12,23,34,41ccccrB4B:12,23,34,41线性相关.三（A）9：类同 三（A）8(1)。

三（A）10理解：A:1,2,,s1,s线性相关；B:2,,s,s1线性无关。

三（A）10（1）：由已知，A:1,2,,s1,s线性相关；C:2,,s线性无关，由此得证。

A三（A）10（2）：rs1srB，故不能.三（A）11：A:1,2,,n线性无关rAn.C:B1,B2,,Bn线性无关rCrB1,B2,,Bnn，rBAnrBnB0.rAn方法二：C:B1,B2,,Bn线性无关Cx0只有零解，即BAx0只有零解，/ 14

由已知Ax0只有零解，yAx,则By0只有零解，即rBn,即B0.三（A）12：依据：初等行变换不改变列向量组的线性相关性.A:1,2,,nA1,2,,n~行最简形，观察立得结论.1r0例如：A1,2,3,4,5~0001001200001032,观察得结论:

10rrA3,最大无关组：1，2，4.3122,531223.三（A）13：化为行阶梯型。

三（A）14：设向量组A与B所含向量个数相同，则：A~BRARBRA,B.操作如下：A,B~行阶梯型，再观察之。

三（A）15：At:1,2,,t是A：1,2,,s中的一个线性无关组，则A中任何一个向量均可由

At线性表出（否则，设A中的不能由At线性表出，于是：At1:1,2,,t，线性无关，这与rrAt矛盾），故At:1,2,,t是A中的一个极大无关组.另证：rAt=rAAt与A等价，即：At是A的一个极大无关组.三（A）16-19: 基本题型.略。

三（A）20: rA3,Ax0的解空间的维数=431,312222331323A0,即Ax0的基础解系

所求xk22312.三（A）21，22：典型习题，务必重视！

三（B）1（1）：对应分量成比例。三（B）1（2）：rA4,即A0.三（B）1（3）：rArA,.三（B）1（4）：rArA,1rA,2.三（B）1（5）：rArA,BrB./ 14 B0三（B）1（6）：rABrA2

三（B）1（7）：rArB3,B0rA2A0

三（B）1（8）：AxO有非零解A0,Axb由无穷多个解rArA,3.三（B）1（9）： 类同三（A）20.三（B）1（10）：rA3.三（B）1（11）：设A:1,2,,nA，1,2~A,o,2rA，1,2rA,o,2s1.三（B）1（12）：rA3Mij0rA*0.三（B）1（13）：类同三（B）7.A0，rB2B0

三（B）1（14）：rA2rA*1A*x0解空间的维数为312.由此推出： Ax0*CA11,A21,A31x0，解之即可。

三（B）1（15）：21o,rA2rA=2,基础解系只含有一个自由向量，故通解为：xk211.ATABBTBATTTABTATABBTABT四（A）26：ATABBTABAABBAB,A2

ABAB,1A2AB0,AB0.证毕./ 14