线性代数习题册_线性代数习题册答案
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线 性 代 数
习
题
册
江苏师范大学科文学院
第一章矩阵
重点掌握：矩阵的运算；行列式的计算；元素的代数余子式和伴随矩阵的定义；可逆矩阵的性质和逆矩阵的求法；矩阵秩的求法等。
一、逆矩阵
对于记作，若有． 为可逆矩阵；
满足，则称
为可逆矩阵，且
为的逆矩阵，运算律：（1）对于可逆为可逆矩阵．
可逆, 且，有
．
．，取（2）可逆，可逆，且．
对于（3）对于，取与，取都可逆，有
可逆，且，有
． ．
．
（4）对于可逆，取
可逆, 且，有
．
．
（5）（6）可逆与都可逆
．
．
二、矩阵的初等变换
初等变换 行变换 列变换 ① 对调 ② 数乘, 记作
③ 倍加
经过初等变换得到初等矩阵：
．
（1）
（2）
（3）定理
设（1）对（2）对是
矩阵，则
进行一次行初等变换，相当于用一个阶的初等矩阵左乘；.进行一次列初等变换，相当于用一个阶的初等矩阵右乘求逆矩阵的初等变换法：
（都是初等矩阵）
由此可得：对（矩阵的位置）成为
施行“初等行变换”，当前列 时，则后
列（的位置）为
．
三、矩阵的秩
1、子式：在中, 选取行与
列, 位于交叉处的 个数按照原来的的一个阶子式, 记作
个．
． 相对位置构成阶行列式, 称为 对于给定的, 不同的2、矩阵的秩：在中，若；
阶子式总共有(1)有某个阶子式(2)所有的 称
阶子式
（如果有，或者
阶子式的话）． ．
阶梯矩阵.的秩为，记作定理 任意一个矩阵，均可以经过一系列行初等变换化为定理 初等变换不改变矩阵的秩.定理 阶矩阵可逆
.典型习题练习
＊1设是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与
等价的矩阵是（）
A． B．
C． D．
2．设3阶阵A．0 B．1 C．
2＊3如果A 4设阶方阵D．3，则的秩为（）
可逆，则下列结论正确的是（）
； C
； D的行向量线性相关。； B 是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与等价的矩阵是____________。＊5设为三阶方阵，且，则____________。
＊6设为三阶方阵，的行列式
____________。，则
___________。＊7．已知三阶方阵8．设矩设矩阵，矩阵，则矩阵的秩=____________。
9．设矩阵＊10设n阶可逆矩阵，矩阵
满足，则矩阵，则的秩=____________。
=____________。
11．3阶矩阵，则的秩为____________。
12矩阵，则行列式=____________。
13＊14已知三阶方阵
。的行列式，则。
15已知矩阵，则=____________。
＊16设矩阵，则的特征值为____________。
17计算行列式
＊18计算行列式
＊19计算行列式。
20计算行列式
＊21设
，求。
＊22设，求。
＊23设，求。
＊24设，求。
＊25设
26已知
＊27证明：如果矩阵
阶矩阵满足，求,求证：可逆，并求的逆。
是可逆对称矩阵，则也是对称矩阵。
第二章线性方程组
重点掌握：向量组间的线性关系：线性相关和线性无关；向量组极大无关组和秩的求法，线性方程组基础解系的求法等。
一、线性方程组
一、克拉姆（Cramer）法则
定理（克拉姆法则）如果含有个方程的元线性方程组
（1）的系数行列式
则方程组（1）有唯一解，并且
其中是将系数行列式的第列元
元线性方程组
换成常数项
后得到的行列式.定理 如果如果含有个方程的的系数行列式，则方程组（2）仅有零解.二、解线性方程组的消元法
定理（1）（2）若, 有解有解时，若；，则有唯一解；
个自由未知量．，则有无穷多组解，此时，一般解中有定理(1)
仅有零解；
(2)
由于对推论 如果矩阵
有非零解[即有无穷多个解]有，由此得到
．
元齐次线性方程组
必有非零解.中，方程的个数少于未知量的个数，即，则方程组特别地，对于含有个方程的元齐次线性方程组
由定理2.2和定理2.4可以得到
定理 齐次线性方程组
有非零解
．
三、向量及其线性运算
1．向量的线性组合 设维向量，及（为正整数），若有数组，称为的线性组合，或称
可由向量组
线性表示．
使得
2．线性相关与线性无关 对维向量组，若有数组
则称向量组
线性相关，否则称为线性无关．，仅当数组
称向量组向量组线性无关，否则称为线性相关． 线性相关
元齐次线性方程组
全为0时，才有
不全为0，使得
线性无关：对维向量组
（1）
有非零解.向量组特别地，当向量组
线性无关
元齐次线性方程组（1）仅有零解.时，由定理2.5可推出： 线性相关
方程组（1）的系数行列式
向量组
线性无关
方程组（1）的系数行列式
四、向量组的秩
极大线性无关组：设向量组为（1）在（2）在都可以表为则称的秩，记作：秩中有个向量中有，若
线性无关；
个向量的话）．[即
中每一个向量
个向量线性相关（如果有的线性组合] 为向量组的一个极大线性无关组，简称为极大无关组，称为向量组
．[即极大无关组所含的向量个数] 向量组的秩与矩阵的秩的关系 设
(1)(2)当（1）（2）时，有
线性相关线性无关线性相关线性无关
； ．
； ．
五、线性方程组解的结构
1、齐次线性方程组 不妨设的基础解系的一般解为
（）
依次令
可求得 因为（1）（2）所以，„，线性无关，是解空间的一个基，称为齐次方程组
解的结构的一个基础解系．
2、非齐次线性方程组设 的一个基础解系为 的特解为，一般解为，则有
()
六、若标准正交基
为向量空间，的一个基，（1）正交化：取，，为正交向量组（两两正交），且与向量组（2）单位化，取
等价．
则向量组为的一个标准正交基．
典型习题练习
＊1．设向量组
线性相关，则向量组中（）
A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合 ＊2．下列结论不正确的是（）A 如果B 如果，„，„，则，„，线性相关；
线性相关，则其中某个向量是其它向量的线性组合；
C 向量组的任何一个向量可由它的极大无关组线性表示；
D 如果一个向量组线性无关，则它的任何一个部分向量组也线性无关。
＊3．设向量组
线性无关，则向量组（）A．均不为零向量 B．任意两个向量不成比例
C．任意s-1个向量线性无关 D．任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示 ＊4.设向量，则下列向量是单位向量的是（）
A． B．
C．
D．
5．设为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组：的解为_________________.＊6．设是一个4维向量组，若已知
可以表为的线性组合，且表示法惟一，则向量组的秩为____________。
5．如果＊7．若有非零解，则=____________。
元齐次线性方程组的系数矩阵的秩，则它的基础解系含解向量的个数为____________。
8.已知向量组
＊9．已知向量组，的秩为2，则数____________.，,（1）求向量组的秩；（2）求向量组的一个极大无关组。
＊10已知向量组，,（1）求向量组的秩；（2）求向量组的一个极大无关组。
＊11试确定的值，使齐次方程组有非零解，并求方程组的解。
＊12已知向量组,判断，是否可以表示为其余向量的线性组合。若可以，求其表示式。
＊13已知向量组,14．证明：包含零向量的向量组一定线性相关。，判别向量组是否线性相关。如果现行相关，将其中一个向量表为其余向量的线性组合。
第四章 矩阵的特征值和特征向量
重点掌握：矩阵的特征值和特征向量的计算；矩阵的特征值和特征向量的性质；相似矩阵矩阵对角化问题等。
一、特征值与特征向量
对阶矩阵称为，若有数
和
维列向量
满足，则称数
为的特征值，非零向量的属于特征值的特征向量．
说明：
1、特征向量
2、阶方阵值，即满足方程，特征值问题是对方阵而言的． 的特征值，就是使齐次线性方程组的都是矩阵的特征值．
有非零解的3、称以记
4、设（1）（2）特征方程：
有非零解
．
或者
为未知数的一元次方程，它是阶方阵的为的特征方程．的特征多项式．
次多项式，称其为方阵的特征值为，则有；
特征矩阵：
或者 特征多项式：特征值和特征向量的性质
定理 设是阶矩阵，则
与
有相同的特征值．
定理 阶矩阵定理
设可逆的充分必要条件是它的任一特征值不等于零． 的互异特征值为
线性无关．，与之对应的特征向量依次为，则向量组注意：
1、属于不同特征值的特征向量是线性无关的．
2、属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．
3、矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．
定理
设无关的特征向量为的互异特征值为，重数依次为，则向量组
线性无关．
定理
设（1）（2）
． 0是的特征值．, 则 ；
．的特征值
；，则，对应的线性推论
一元多项式：矩阵多项式：定理 设(1)(2)[注] 一般结论：若 为的全体特征值为
．,则的全体特征值
二、相似矩阵及其性质
对于或称是阶方阵和，若有可逆矩阵
．，使得，则称矩阵
与
相似，的相似矩阵，记作相似矩阵的性质 性质1
与
[
与
有相同的特征多项式]；的特征值相同．
推论 若阶方阵与对角形矩阵
相似，则性质2 即是的个特征值．
（．
为正整数）．
性质3
[相似矩阵一定等价，显然有相等的秩；反之不然] 性质4 单位矩阵的相似矩阵就是其本身．
性质5 性质6 性质7 若，且
与
可逆
．
即相似矩阵或都可逆或都不可逆．当它们都可逆时，它们的逆矩阵也相似．
相似对角化
若方阵对能够与一个对角矩阵相似，称，若可找到可逆矩阵，使
可对角化．
为对角矩阵，这就称为把方阵阶方阵对角化． 定理 阶方阵推论 如果似．[其中[注] 可对角化的有个线性无关的特征向量．
]互不相等，则
．]的特征值． 可对角化．，重数依次为，有个线性无关的特征向量．的每一个
重特征值，则
可对
与对角阵
相阶矩阵个特征值[的主对角线的元依次为的主对角元素为有个互异特征值的全体互异特征值为推论1 推论2 设角化的充要条件是，对应于每个特征值定理 阶矩阵特征矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是对于
． 的秩为定理 也可以叙述为：阶矩阵重特征值，齐次线性方程组
与对角矩阵相似的充分必要条件是对于的基础解系中恰含有的每一个
个向量．
三、实对称矩阵的特征值和特征向量
1．实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 定理
实对称矩阵的特征值都是实数．[即
] 定理 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交．
2、正交矩阵 实矩阵（1）（2）满足是正交矩阵是正交矩阵
时，称为正交矩阵．
． ．
（3）即
是正交矩阵，的列向量组是两两正交的单位向量．
（4）是正交矩阵，即的行向量组是两两正交的单位向量． 定理 [设为阶实对称矩阵]是以的存在正交矩阵，使得
[即]．其中即，设为
个特征值为对角元素的对角矩阵．，使得
成为对角矩阵． 一定有个线性无关的阶实对称矩阵，则存在正交矩阵，若
是推论 设特征向量．的重特征值, 则对应于特征值
3、实对称矩阵对角化方法——利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为： ① 求② 由的特征值；，求出的特征向量；
③ 将特征向量正交化；
④ 将特征向量单位化．
典型习题练习
1.已知矩阵A．C．2．设 B． D．与对角矩阵，则
相似，则（）
为3阶矩阵，且必有一个特征值为（）
A． B．
C． D． ＊3．设矩阵A．1 C．3 B．2 D．4，则的线性无关的特征向量的个数是（）
＊4.设3阶实对称矩阵的特征值为，则 __________。
5．已知为矩阵的重特征值，则的另一特征值为____________。
＊6．已知三阶方阵7．已知3阶矩阵的特征值为的特征值为，则且矩阵
与
________。相似，则
_________.＊8求矩阵的全部特征值及对应的全部特征向量。
＊9．求矩阵的全部特征值及对应的全部特征向量。
＊10设矩阵
＊11设矩阵，求可逆矩阵，使为对角矩阵。，求可逆矩阵，使为对角矩阵。
＊12矩阵
13证明：如果矩阵
与，求可逆矩阵，使为对角矩阵。
相似，则 与相似 14：证明：如果矩阵
与相似，则 =。
第四章 二次型
重点掌握：二次型及其矩阵；矩阵的合同的性质；二次型标准型与规范型的求法；二次型正，负惯性指数和秩的计算等。
一、二次型的矩阵表示
含有个变量
称为元二次型，简称为二次型．
：称：称只含有平方项的二次型
称为二次型的标准形（或法式）．
1．矩阵表示：令，则，于是
为实二次型（本章只讨论实二次型）为复二次型 的二次齐次多项式
其中，．即，（2）
其中为对称矩阵，因为（）．
2、标准形：
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形． 二次型的标准形的矩阵为
3、合同矩阵： 对于同于．记为定理 ∽∽为对称矩阵，若有可逆矩阵．
． 为可逆矩阵，若，即
与
合同，则
亦为
使得, 则称矩阵
与
合同，或
合定理 设对称矩阵．
二、化二次型为标准形
1．正交变换法 说明：
1、二次型经可逆变换
2、要使二次型经可逆变换
后，其秩不变，但的矩阵由
变为；
变成标准形，就是要使
也就是要使称为对角矩阵．，总有正交矩阵，使
由于对任意的实对称矩阵此结论应用于二次型，有，即．把定理
任给二次型准形
（），总有正交变换，使化为标
其中是的矩阵的特征值．
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：、将二次型表成矩阵形式、求出 的所有特征值，求出；；，记；、求出对应于特征值的特征向量、将特征向量；
正交化，单位化，得、作正交变换
2、配方法，则得的标准形．
用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变． 问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？
问题的回答是肯定的．下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法． 拉格朗日配方法的步骤：、若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形；、若二次型中不含有平方项，但是，则先作可逆线性变换
（且化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方．
定理 对于实二次型
定理 对于实对称矩阵, 存在可逆矩阵, 使得, 存在可逆变换）, 使得
3、初等变换法
求可逆矩阵 可逆, 使得
：（是初等矩阵）
典型习题练习
1设2元二次型
正定，则矩阵
可取为（）
A． B．
C．2 二次型A．1 B．2 C．3 D．4 D．的秩为（）若3阶实对称矩阵 是正定矩阵，则的正惯性指数为__________。＊4实二次型的正惯性指数=__________。
＊5矩阵
对应的二次型 __________。
