线性代数期末复习题详解_线性代数期末试题详解

线性代数期末复习题详解由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“线性代数期末试题详解”。

线性代数B复习资料（2014）

(一)单项选择题

1．设A，B为n阶方阵，且ABE，则下列各式中可能不成立的是（A）

2(A)AB

(B)ABAB

(C)BABA

(D)(BA)2E 2．若由AB=AC必能推出B=C（A，B，C均为n阶矩阵）则A必须满足（C）(A)A≠O

(B)A=O

(C)A0

(D)AB0 3．A为n阶方阵，若存在n阶方阵B，使AB=BA=A，则（D）(A)B为单位矩阵

(B)B为零方阵

(C)B1111A

(D)不一定

4．设A为n×n阶矩阵，如果r(A)

(C)A的行（列）向量组中必有一个行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(D)A的行（列）向量组中必有两个行（列）向量对应元素成比例 5．71．已知向量组1,2,3,4线性无关则向量组(C)(A)(B)(C)(D)12,23,34,41线性无关 12,23,34,41线性无关

12,23,34,41线性无关 12,23,34,41线性无关

6．下列说法不正确的是(A)(A)如果r个向量1,仍然线性无关(B)如果r个向量1,组仍然线性无关(C)如果r个向量1,(D)如果r个向量1,2,,r线性无关，则加入k个向量1,2,,k后，2,,r线性无关，则在每个向量中增加k个分量后所得向量2,,r线性相关，则加入k个向量后，仍然线性相关

则在每个向量中去掉k个分量后所得向量组2,,r线性相关，仍然线性相关

7．设n阶方阵A的秩r

(B)任意r个行向量均可构成极大无关组(C)任意r个行向量均线性无关

(D)任一行向量均可由其他r个行向量线性表示 8．设方阵A的行列式A0，则A中 C(A)必有一行（列）元素为零(B)必有两行（列）成比例

(C)必有一行向量是其余行（列）向量的线性组合(D)任一行向量是其余行（列）向量的线性组合9．设A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0仅有零解的充分必要条件是(A)(A)A的列向量线性无关(B)A的列向量线性相关(C)A的行向量线性无关(D)A的行向量线性相关

11．n元线性方程组AX=b，r（A，b）

(B)有唯一解

(C)无解

(D)不确定 10．设A，B均为n阶非零矩阵，且AB＝0，则A和B的秩（D）(A)必有一个等于零

(B)一个等于n，一个小于n

(C)都等于n

(D)都小于n 12．设向量组1,2,,s(s>1，10)线性相关，则（C）由1,2,,i1线性表出。

(A)每个i(i1)都能

(B)每个i(i1)都不能

(C)有一个i(i1)能

(D)某一个i(i1)不能

A的第二行加到第一行得到B，再将B的第一列的(1)倍加13.设A为3阶矩阵，将到第2列得到C，记B

110P010

001（A）CP1AP则：

（C）CPTAP(B)CPAP1

(D)CPAPT

14.若向量组,,线性无关;,,线性相关,则(C)(A)必可由,,线性表示.(B)必不可由,,线性表示(C)必可由,,线性表示.(D)必不可由,,线性表示.15．下列命题正确的是(D)(A)若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关(B)线性相关的向量组中必有零向量

(C)向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关(D)向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关 16．设向量组1,2,,s的秩为r，则 D(A)必定r

17．A是m×n矩阵, r(A)=r 则A中必(B)(A)没有等于零的r-1阶子式至少有一个r阶子式不为零(B)有不等于零的r阶子式所有r+1阶子式全为零(C)有等于零的r阶子式没有不等于零的r+1阶子式(D)任何r阶子式都不等于零任何r+1阶子式都等于零 18．能表成向量10,的向量是（B）(A)0,0,0,1,20,1,1,1,31,1,1,1的线性组合0,1,1(B)2,1,1,0

(C)2,3,1,0,1(D)0,0,0,0,0

19．已知11,2,3, 23,1,2,32,3,x 则x=（D）时1,2,3线性相关。

(A)1

(B)2

(C)4

(D)5

20．向量组11,1,2,4,20,3,1,2,330,7,14

41,1,2,0的秩为 C（A）1

（B）2

（C）3

（D）4

21．设A为n阶方阵,且A0，则C(A)A中任一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(B)A必有两行（列）对应元素乘比例

(C)A中必存在一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合(D)A中至少有一行（列）向量为零向量

22．向量组1,2,,s线性相关的充要条件是(C)3

(A)(B)(C)(D)1,2,,s中有一零向量

1,2,,s中任意两个向量的分量成比例 1,2,,s中有一向量是其余向量的线性组合 1,2,,s中任意一个向量均是其余向量的线性组合23．若向量可由向量组1,2,,s线性表出,则(C)(A)存在一组不全为零的数k1,k2,,ks,使等式k11k22kss成立(B)存在一组全为零的数k1,k2,,ks,使等式k11k22kss成立(C)向量,1,2,,s线性相关(D)对的线性表示不唯一

24．对于n元方程组，正确的命题是（D）(A)如AX=0只有零解, 则AX=b有唯一解(B)AX=0有非零解, 则AX=b有无穷解(C)AX=B有唯一解的充要条件是A0

(D)如AX=b有两个不同的解, 则AX=b有无穷多解

25．设矩阵Amn的秩为r(A)=m

(C)A通过初等变换, 必可化为(Im,0)的形式

(D)若矩阵B满足BA0,则B0.26．非齐次线性方程组AX=b中未知数的个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（A）

(A)r=m时, 方程组AX=b有解(B)r=n时, 方程组AX=b有唯一解(C)m=n时, 方程组AX=b有唯一解(D)r

27．已知1,2,3是齐次线性方程组AX=0的基础解系，那么基础解系还可以是（B）(A)k11k22k33(B)(C)12,23,31 12,23,(D)1,123,32,28．向量组1,2,,r线性无关，且可由向量组1,2,,s线性表示，则 D r(1,2,,r)必（）r(1,2,,s)(A)大于等于

(B)大于

(C)小于

(D)小于等于

T 29．设n元齐次线性方程组AX=0的通解为k（1，2，…，n），那么矩阵A的秩为（B）(A)r(A)=1

(B)r(A)=n-1

(C)r(A)=n

(D)以上都不是

1111的秩为2，则=（D）30．设矩阵A=12233A.2

B.1

C.0

D.-1 31．设n维向量组1,2,,r(Ⅰ)中每一个向量都可由向量组1,2,,s(Ⅱ)线性表出,且有r>s, 则(D)

(A)(Ⅱ)线性无关

(B)(Ⅱ)线性相关

(C)(Ⅰ)线性无关

(D)(Ⅰ)线性相关 32．设1,2,,n是n个m维向量，且n>m, 则此向量组1,2,,n必定(A)(A)线性相关

(B)线性无关

(C)含有零向量

(D)有两个向量相等 33．矩阵A 适合条件（D）时，它的秩为r(A)A中任何r+1列线性相关

(B)A中任何r列线性相关

(C)A中有r列线性无关

(D)A中线性无关的列向量最多有r个 34．若m×n阶矩阵A中的n个列线性无关

则A的秩（C）(A)大于m

(B)大于n

(C)等于n

(D)等于m 35．若矩阵A中有一个r阶子式D≠0，且A中有一个含D的r+1阶子式等于零，则一定有R（A）（A）

(A)≥r

(B)＜r

(C)=r

(D)=r+1 36．要断言矩阵A的秩为r，只须条件（D）满足即可(A)A中有r阶子式不等于零(B)A中任何r+1阶子式等于零

(C)A中不等于零的子式的阶数小于等于r(D)A中不等于零的子式的最高阶数等于r 37.设m×n阶矩阵A，B的秩分别为r1,r2，则分块矩阵（A，B）的秩适合关系式（A）(A)rr1r2

(B)rr1r2

(C)rr1r2

(D)rr1r2 38．R(A)=n是n元线性方程组AX=b有唯一解（C)(A)充分必要条件

(B)充分条件

(C)必要条件

(D)无关的条件 39．矩阵A=11的特征值为0,2, 则3A的特征值为（B)115

(A)2,2;

(B)0,6;

(C)0,0;

(D)2,6;40．A=1122I2AA，则的特征值为（B）111(A)2,2;

(B)–2,-2;

(C)0,0;

(D)–4,-4;41．BPAP,0是A,B的一个特征值, 特征向量是(C)(A)

是A的关于0的特征向量, 则B的关于0的

(B)P

(C)P1

(D)P

242．A满足关系式A2AEO，则A的特征值是 C(A)=2

(B)= －1

(C)= 1

(D)= －2是

022x2的特征值，其中b≠0的任意常数，则x=（D）43．已知－2是A=222b(A)2

(B)4

(C)－2

(D)－4

41771有特征值123,312，则x=（D）44．已知矩阵A=444x(A)2

(B)－ 4

(C)－2

(D)4（提示：用特征值的和等于迹的结论来做较简单，迹的向定义见计算题与填空题17）45．设A为三阶矩阵，已知AE0，A2E0，A3E0，则A4E A(A)6

(B)－ 4

(C)－2

(D)4

46.设A为三阶矩阵，有特征值为1，-1，2，则下列矩阵中可逆矩阵是（D）(A)E-A

(B)E+A

(C)2E-A

(D)2E+A

（二）计算题与填空题

1．A5A6I0，则A31（）

（12A5I）621012,则RBA_____2___ 2．设A是34矩阵,RA2,B11113.设A为3阶矩阵，且|A|2, 则行列式|TTTA3A1|____

（-1/2）

4.11t3,20t5,310t, 当t0,2时, 向量组1,2,3 线性无关.6

5．设1kTTT5,1132,2211,k（）时可被向量组1,2线性表出。

（-8）

6.1001111000113120110010110013 答案：110 349012 7.设122T,1111T,2111T,3111T.则是否为向量组1,2,3的线性组合？

（是）

8． 确定a,b为何值时，使下列非齐次线性方程组有解，并求其所有解.x1x22x33x40x3x5x2x11234.x1x2ax34x41x17x210x37x4b答： 当a1,b4时，解为

1172131，其中

c1c1,c2为任意非零常数;c22020020

当a1,b4时，解为

17211

k0，其中k为任意常数;2020

方程组不存在唯一解.1111，矩阵X满足A*XA12X，其中A*是A的伴随矩阵，求9．已知A11111矩阵X.1101答 ：X0114101

10． 求下列矩阵的特征值与特征向量.102（1）010(2)201

312202.211答案：(1)11,21,33，对应于11的全部特征向量是k10,1,0，k10；

对应于21的全部特征向量是k21,0,1，k20；

对应于33的全部特征向量是k31,0,1，k30.(2)10,231,1

对应于10的全部特征向量是k11，k1为非零常数；

1TTT

对应于231的全部特征向量为

10k22k32，k2,k3是不同时为零的常数； 0111.三阶矩阵A的特征值为11,22,33,则A为（）.(6;1,;A1,A*,A1A2的特征值

1111,;6,3,2;2,4,9.)2323 8

1k1012.设矩阵A121有一个特征向量为2，求k及A的三个特征值.101k答案：k3，A的三个特征值为1,3,4.13．已知向量组

12,1,2,1T,21,1,5,7T,31,2,3,8T,41,1,a,6T,53,0,4,7T的秩为3，求a及该向量组的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余向量。答案：a2,1,2,4 为一个极大无关组，31204,51024,14． 设向量组11,k,1,2k1,2,1,31,1,k，(1)k为何值时，1,2线性相关？线性无关？

(2)k为何值时，1,2,3线性相关？线性无关？

(3)当1,2,3线性相关时，将3表示为1,2的线性组合.答案：(1)k2时线性相关，k2时线性无关；

(2)k1,2或2时线性相关；k1且k2且k2时线性无关；

(3)当k1时，3102；当k2时，3534142.15设A123012,使得方程组AXb总有解的b是（211(k12310k21k322)1121116.已知向量(1,k,1)T是矩阵A121的逆矩阵A1的特征向量，求常数k

112答案：k1,2

17．矩阵A321315的迹为

。（7）323).定义：对于n阶方阵A(aij)，矩对角线元素之和称为方阵A的迹，记为trA，即

trAa11a22ann，定义2.15 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作AB

（三）证明题：

1.设A为mn矩阵，B为ns矩阵，且AB0，证明rArBn.证 设B(1,2，s)，则AB(A1,A2，As)，由AB0得

Ai0,i1,2，s，所以矩阵B的列向量都是方程组Ax0的解.设rAr，如r0，则结论显然成立.如rn，则方程组Ax0仅有零解，故B0，从而有rArBn.如0rn，则方程组Ax0的基础解系中有nr个线性无关解向量.由于B的列都能由基础解系线性表示，由定理3.12知，rBnr，所以rArBrnrn.T2.证明：对任意矩阵A，有rAArA.

证

设A为mn矩阵，x为n维列向量，如果x满足Ax0，则有

TT

AAx0，即AAx0，反之，如果AAx0，则xTTAAx0，即AxAx0，从而Ax0.TTTT这说明方程组Ax0与AAx0同解，所以rAArA.