数的起源与发展（材料）_数字的起源与发展

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1.数的起源与发展

摘要：数学是研究数和形的科学，具有十分悠久的历史。从远古屈指计数到现代高速电子计算机的发明：从量地测天到抽象严密的公理化体系，在五千余年的数学历史长和中，重大数学思想的诞生与发展，确实构成了科学史上最富有理性魅力的题材。

一、数的产生与发展

由于生活和劳动上的需求，最原始的人类就知道简单的计数，并由用手指或实物计数发展到用数字计数。在中国，至迟在商代，即已出现用十进制数字表示大数的方法；又至迟至秦汉之际，即已出现完满的十进位值制。在成书不迟于ｌ世纪的《九章算术》中，已载有只有位值制才有可能的开平方、立方的计算法则，并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法，还引入了负数概念。刘徽在他注解的《九章算术》（３世纪）中，还提出过用十进小数表示无理数平方根的奇零部分，但直至唐宋时期（欧洲则在１６世纪ｓ．斯蒂文以后）十进小数才获通用。虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念，但在实质上，那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法，这不仅在应用上不可缺，也为数学初期教育所不可少。至于继承了巴比伦、埃及、希腊文化的欧洲地区，则偏重于数的性质及这些性质间的逻辑关系的研究。早在欧几里得的《几何原本》中，发现了有非分数的数，即现称的无理数。１６世纪以来，由于解高次作者简介：霍凯凰，晋中学院师范分院数学系。有突出的地位。同时，他还给出了筹算的草式，创用了。三斜求积术”等。李冶的“天元术”给出了建立代数方程的一般方法。杨辉则是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。朱世杰为中国数学留下两部优秀的数学著作——《算学启蒙》和‘四元玉鉴》。他的主要成就是创立了“四元术”。他的消去法是中国数学史上一项杰出的成就。此外如贾宪、刘益、沈括等人都作出了重要贡献，“四大家”的成就是直接以他们的成就为基础的。此外，珠 算的发明和使用，也是这一时期最伟大的数学成就之一。

“数，上帝的宠物”，谈祥柏这样所。

当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西(数字2)时，数学就诞生了．——罗素人类是动物进化的产物，最初完全没有数量的概念．古希腊的荷史诗《奥德赛》中有这样一则故事：当主人公奥德修斯刺瞎了独眼巨人波吕斐摩斯仅有的一只眼睛以后，那个不幸的肓老人每天都坐在自己的山洞里照料他的羊群．早晨羊儿外出吃草，每出来一只，波吕斐摩斯就从一堆石子里捡出一颗．晚上羊儿返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子．当他把早晨捡起的石子伞部扔光时，他就确信所有的羊都返回了山洞．

这个有点苍凉的故事告诉我们，很有可能是牧羊人计算羊群的只数产生了数字．人类发达的大脑对客观世界的认识已经达到更加理性和抽象的地步，这样，在漫长的生活实践中，由于记事和分配生活用品等方面的需要，才逐渐产生ｒ数的概念．比如捕获了一头野兽，就用ｌ块石子代表；捕获ｒ ３头，就放３块石子．“结绳记事”是地球上许多相隔很近的古代人类共同做过的事．我凶占书《易经》中有“结绳而治”的记载．传说古代波斯千打仗时也常用绳子打结来计算天数．用利器在树皮上或兽皮上刻痕，或用小棍摆在地

上计数也都是古人常用的办法．这些办法用得多了，就逐渐形成数的概念和记数的符号．有趣的是，世界各地的民族是不约而同地采取了以下方法：把从ｌ开始的若干连续的数字作为基本数字．当然，虽然数的概念最初不论在哪个地区都是以ｌ，２，３，４„„这样的十进制自然数开始的，但是记数的符号却大不相同．古罗弓的数字相当进步，现在许多老式挂钟上还常常使用．他们的符号一共只有７个：Ｉ（代表１）、Ｖ（代表５）、Ｘ（代表ｌｏ）、Ｌ（代表５０）、Ｃ（代表１００）、Ｄ（代表５００）、Ｍ（代表１０００）．这７个符号位

置上不论怎样变化，它所代表的数字都是不变的．古埃及人所创建的数系与罗马数系有很多相似之处，具有简单而又纯朴的风格，并且使用ｒ十进位制，但是没有位值制．他们依次用笔Ｉ田．排列记数到９，然后用一个好像倒写的ｕ的符号代表１０，每一个较高的单位是用特殊的符号来表示的．我国古代也很蓖视记数符号，最占老的甲骨文和钟鼎中都有记数的符号，不过难写难认，后人没有沿用．到春秋战卜习时期，生产迅速发展，为了适应这一需这些数字逐渐演变成今天的阿拉伯数字．随着生产、生活的需要，人们发现，仅仅能表示自然数是远远不行的．如果分配猎获物时，５个人分４件东西，每个人该得多少呢？于是分数就产生了．中国对分数的研究比欧洲早１４００多年！自然数、分数和零，通称为算术数．自然数也称为正整数．随着社会的发展，人们又发现很多数量具有相反的意义，比如增加和减少、前进和后退、上升和下降、向东和向西．为了表示这样的量，又产生了负数．正整数、负整数和零，统称为整数．如果再加』二正分数和负分数，就统称为有理数．有ｒ这些数字表示法，人们计算起来感到方便多了．但是，在数字的发展过程中，一件不愉快的事发生了．古希腊研究数学、科学和哲学的团体毕达哥拉斯学派认为“数”是万物的本源，支配整个自然界和人类社会．因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界之所以美好和谐的源泉．他们所说的数是指整数．分数的出现，使“数”不那么完整了．但分数都可以写成个整数之比，所以他们的信仰没有动摇．但是，学派中＿．个叫希帕索斯的学生在研究１与 ２的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的●数可以表示它．如果设这个数为戈，则有一１一－－－－戈ｆｉ－，推导菇二的结果即Ｘ２＝２．他画了一个边长为１的正方形，设对角线为龙，根据勾股定理ｘ２＝１２＋１２＝２，可见边长为１的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数．这个数肯定是存在的．可它是多少？又该怎样表示它呢？希帕 索斯百思不得其解，最后认定这是一个从未见过的新数．这个新数的出现使毕达哥拉斯学派感到震惊，也动摇了他们哲学思想的核心。为了保持支撑世界的数学大厦不坍塌，他们规定对新数的发现要严守秘密．而希帕索斯还是忍不住将这个秘密泄露ｒ出去．据说他后来被扔进大海喂了鲨鱼．然而真理是藏不住的．人们后来义发现了很多不能用两个整数之比写出来的数，如圆周率就是最重要的一个．人们把它们写成订、、／２、、／３、Ｖ１０等形式，称它们为无理数．有理数和无理数一起统称为实数．在实数范闱内对各种数的研究使数学理论达到了相当高深和丰富要，我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法一筹算．筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的．按规定的横曙长短顺序摆好，就口ｒ用来记数和进行运算． 随着筹算的普及，算筹的摆法也就成为记数的符号了．算筹摆法有横纵两式，都能表示同样的数字．除了十进制以外，在数学萌芽的早期，还出现过五进制、二进制、乏进制、七进制、八进制、十六进制、二十进制、六十进制等多种数字进制法．在长期实际生活的应用中，十进制最终占了上风．现在世界通用的数码１，２，３，４，５，６，７，８，９，０，人们称之为阿拉伯数字．实际上它们是古代印度人最早使用的．后来阿拉伯人把古希腊的数学融进了自己的数学中，又把这一简便易写的十进制位值记数法传遍了欧洲，使得的程度．这人类的历史已进入１９世纪许多人认为数学成就已经登峰造极，数字的形式也不会有什么新的发现ｒ．但在解方程的时候常常需要开平方．如果被开方数是负数，这道题还有解吗？如果没有解，那数学运算就像是走在死胡同中那样处处碰壁．于是数学家们就规定用符号ｉ表示“一Ｉ”的平方根，即：±ｉ。虚数就这样诞生了．ｉ成了虚数的单位．在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到（实数）和一个向量菇ｉ啊７坛Ｉ｜｝（其中ｘ，ｙ，ｚ为实数）组成的．四元数在数论、群论、量子理论以及相对论等方面有广泛的应用．与此同时，人们还展开了对“多元数”理论的研究．多元数已超出了复数的范畴，人们称

其为超复数．由于科学技术发展的需要，向量、张量、矩阵、群、环、域等概念不断产生，把数学研究推向新的高峰．这些概念也都应列入数字计算的范畴，但若归入超复数中又不太合适，所以，人们将复数和超复数称为狭义数，把向量、张量、矩阵等概念称为广义数．尽 管人们对数的归类法还有某些分歧，但在承认数的后人将实数和虚数结合起来，写成叶６ｉ的形式（ｎ，ｂ均为实数），这就是复数．用虚数和复数表示的量，所以虚数总让人感到虚无缥缈．随着科学的发展，虚数在水力学、地图学和航空学上已经有了广泛的应用，在掌握和会使用虚数的科学家眼中，虚数一点也不“虚”了．数的概念发展到复数以后，在很长一段时间内，连某些数学家也认为数的概念已经十分完善了，数的家族的成员已经都到齐了．可是１８４３年，英国数学家哈密尔顿又提出了“四元数”的概念．所谓四元数，就是一种形如ｑ＝ａ＋ｘｉ竹ｉ忆｜ｊ｝的数．它是由一个标量口概念还会不断发展这一点上意见是一致的到目前为止，数的家族已发展得十分庞大．

二、古代希腊数学

在古希腊数学史上，有著名的三大几何问题：三等分任意角、倍立方、化圆为方。这些问题的难处，是作图只许用直尺（没有刻度的尺）和圆规。希腊人的兴趣是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。后来随着希腊数学的发展，希腊人对无限性，连续性等概念已有深刻的探讨。代表人物是芝诺，他提出了四个著名的悖论：二分说、阿基里斯追龟说、飞箭静止说、运动场问题。从公元前四世纪到公元前１４６年古希腊灭亡，希腊数学达到它的全盛时期。其中成就最大的是欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。

三、中世纪的中国数学

与希腊数学相比，中世纪的东方数学表现出强烈的算法精神，特别是中国与印度数学，着重算法的概括，不讲究命题的形式推导。文艺复兴时期以前，东方数学通过阿拉伯人传播到欧洲。与希腊数学交汇结合，孕育了近代数学的诞生。这一时期的成就．如珠算、天元术、四元术、大衍求一术等，代表了中国古典数学的晟高成就。特别在代数方面成就尤为突出。代表人物有秦九韶、李冶、杨辉、朱世上添加一层楼。”这种说法虽然有些绝对，但却形象地说明了数学 杰。秦九韶的最重要的数学成就——“大衍求一术”（一次同余组解这幢大厦的累积特性。当我们为这幢大厦添砖加瓦时，有必要了解 法）与“正负开方术”（高次方程数值解法）在中世纪世界数学史上占有它的历史。

五、现代数学的发展

这个时期大致是从19世纪上半叶开始。它的开端是以其所有基础部门——代数、几何、分析的深刻变化为特征的。在这个时期，德国数学家康托尔的集合论为数学提供了新的基础，促进了数学的其他许多新分支的发展，同时还导致了数理逻辑这一数学的新的分支的发展。数理逻辑一方面溯源于数学的起源和基础，另一方面它又和计算技术的最新课题紧密相连。代数的深刻变化表现在以往的代数是关于数字的算术运算的学说，而现今，凡量均以字母表示，按照一定的法则对这些字母进行运算。几何上，以前只研究物质世界的空间形式，而现在现实世界的某些其他形式，由于类似于空间形式，也成为几何学的研究对象，可采用几何学的各种方法对其进行研究。分析上，得到了更为精确的基本概念。同时还发展了一系列的新的分支，如实变函数论，复变函数论，函数逼近论等等。