大一下学期高数小论文_大一高数小论文

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高等数学第二学期总结

大学一年级已接近尾声，大一高数的学习也已经完成，下学期的高数学习随着知识的深入而带领我们更进一步去了解高数学习的真谛和高数的重要性。从高数的学习中我获得了更为广阔的知识和视野，下学期的学习既是上学期的学习内容的拓展又是延伸，使我们对高数有更一步的了解和认识，让我们对这门课的研究更为深入。

大一下学期的高数学习分为六章，分别是向量代数与空间解析几何，多元函数微分学，重积分，无穷级数，微分方程和差分方程。在向量代数与空间解析几何中，我们首先学习了向量代数的基本知识，从而在后来的学习中使用向量的基本知识来解决空间几何问题。本章中我们学习的解析几何是17世纪前半叶产生的一门全新的几何学。法国数学家笛卡尔是解析几何的主要创立人。空间解析几何就是用代数的方法研究空间图形的性质。向量是一种重要的数学工具，是近代数学的基本概念之一，在中学阶段，我们已经学习过如何利用向量来解决一些简单的几何问题，这一章在中学学习的基础上，以向量为工具研究空间曲面和空间曲线，介绍空间几何的基本内容，是学习多元函数微分学和积分学的基础。

这一章中，首先介绍了向量代数的基础知识，然后通过建立空间直角坐标系，研究空间中平面与直线方程、常见曲线与曲面等内容。主要的学习方向就是解决空间几何体的相关问题，例如求解空间几何体的面积、体积、距离等相关量。特别当我们在求解曲面时，应该注意使用不同的坐标系，来求解不同的曲面，比如有柱面坐标、直角坐标等。

在多元函数微分学的学习中，上一章就已经学习了一些有关一元函数的微积分，但在许多实际问题中，往往涉及多个因素之间的关系，反映到数学上就表现为一个变量依赖于多个变量的情形，从而产生了多元函数的概念。因此，我们就有必要研究多元函数的微积分问题。

本章主要采用类比的方法来帮助我们理解多元函数的定义，通过将多元函数与一元函数微分基本理论的类比，归纳总结出多元函数微分学的基本理论，主要讨论二元函数的极限与连续的概念、偏导数与全微分及其应用。要学习多元函数微分学，就必须要先了解多元函数的基本概念和极限，本章在第一节中就介绍了有关这方面的内容。学习多元函数的重点是学习二元函数和三元函数，只要掌握了二元和三元函数的微分，则多元函数就基本掌握了。在第二节中，我们学习了偏导数。在研究一元函数时，我们就已经看到了函数关于自变量的变化率的重要性，对于二元函数也同样有函数变化率的问题。所以，我们就有必要学习一下这种变化率，即偏导数。在学习了偏导数这个工具之后，我们就要开始接触全微分，全微分是我们学习微分中的一个重要组成部分。我们学习的微分其实是建立在极限的基础上，所以，接着，我们又开始学习多元复合函数的求导法则以及隐函数的微分法等等与微分和极限有关的内容。

在接下来的一章中，我们开始学习重积分，一元函数的定积分是某种形式的极限，它在实际问题中有着广泛的应用。但由于其积分范围是数轴上的区间，因而只能用来计算与一元函数及其相应区间有关的量。在高等数学中，重积分是多元函数积分学的内容，在一元函数积分学中我们知道定积分是某种确定形式的和的极限。这种和的概念推广到定义在区域、曲线及曲面上多元函数的情形，便得到重积分、曲线积分及曲面积分的概念。高等数学讨论的重积分主要包括二重积分和三重积分两部分，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反映，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分也是某些具体现实过程的反映。在本章中将介绍重积分的概念、计算法以及它们的一些应用。重积分在各种知识领域中的应用非常广阔，我们将在理论力学，材料力学，水力学及其她一些工程学科中碰到它们。

多元函数的积分要比一元函数的定积分复杂得多，当积分范围是平面或空间区域时，这样的积分就是重积分；当积分范围是曲线时，这样的积分就是曲线积分；当积分范围是曲面时，这样的积分就是曲面积分。定义这些积分的思想方法与定积分类似，都可以概括为分割、近似、求和、取极限四个步骤，本章讨论二重积分与三重积分的概念、性质、计算方法和它们的一些应用。

在无穷级数这一章中，课程介绍了无穷级数这个新的概念，无穷级数理论在高等数学中具有非常重要的地位，是研究微积分理论及其应用的强有力工具。研究无穷级数，是研究数列的另一种形式，尤其在研究极限的存在性及计算极限方面显示出很大的优越性。它在表示函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有重要的应用，在经济、管理、电学以及振动理论等诸多领域离也有广泛的应用。

无穷级数是微积分学的重要组成部分之一，是表示函数、研究函数性质和进行数值计算的有力工具。无穷级数本质上是一种特殊数列的极限。利用极限，常数项级数是把有限个数相加推广到无穷多个数相加。幂级数是把多项式的次数推广到无穷多次的结果。主要掌握常数项级数收敛性判别法和会讨论幂级数收敛性。

本章首先介绍无穷级数的概念和基本性质，然后重点讨论常数项级数的概念、性质及其敛散性的判别法，在此基础上介绍函数项级数的相关类容，以及将函数展开成幂级数的条件和方法。

正项级数的收敛判别 ：各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{sn}有界，即存在某正整数M，对一切正整数 n有sn＜M。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法比较判别法

设∑un和∑vn是两个正项级数,如果存在某正数N，对一切n＞N都有un≦vn，则

(1)级数∑vn收敛，则级数∑un也收敛；(2)若级数∑un发散，则级数∑vn也发散 2 柯西判别法（根式判别法）

设∑un为正项级数，且存在某正整数N0及正常数l，（1）若对一切n＞N0，成立不等式式则级数

l＜1，则级数∑un收敛。（2）若对一切n＞N0，成立不等∑un发散。第十一章学习了微分方程，微分方程是数学建模最重要、最有效的工具之一。本章重点阐述了微分方程的基本概念，讨论一些常见的一阶、二阶微分方程，并举例介绍微分方程在经济、管理等方面的简单应用。通过本章的学习，理解了微分方程的基本概念，掌握常见的一阶、二阶微分方程的基本解法，通过建立微分方程模型，解决一些简单的经济问题，培养对数学建模思想的理解。凡表示自变量，未知函数以及未知函数的导数或微分之间关系的方程称为微分方程。若方程中的未知函数为一元函数，就称为常微分方程；若方程中的未知函数为多元函数，这时导数为未知的偏导数，就称为偏微分方程。只含有未知函数的一阶导数，我们称这样的方程为一阶微分方程，而微分方程中含有未知函数的二阶导数，我们称这样的方程为二阶微分方程。一般的，若方程中未知函数的最高阶导数为n阶，则称其为n阶微分方程，并称方程中未知函数导数的最高阶数n为方程的阶。每一个微分方程转化为恰当方程之后，可以运用恰当方程的公式进行求解，因此转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要。课本中介绍了仅关于x或仅关于y的积分因子。

第十二章我们学习了差分方程，对于连续变量y（t），可以用刻画其变化率。但是在许多应用问题中，函数是否可导，甚至是否连续都不清楚，或函数根本就不可导，而只知道函数在某些时刻的函数值，这时自变量与因变量都是离散变化的。因此我们利用函数的差商△y/△t代替导数来刻画函数y（t）的变化率。我们对函数在单位时间内的增量引入了一个新的概念就是差分。本章中比较重要的是二阶常系数线性方程，这里学到了二阶常系数齐次线性差分方程的通解以及二阶常系数非齐次线性方程特解的解法。

在学习高数的时候，我们应该注重学习方法的选择，只有掌握好了学习方法，才能将这门课学好。我们在学习的时候，要先预习，然后应该好好的完成课后作业，最好要时刻的复习总结。学习高数这门课的时候，我们首先应该了解高数这门课的性质，对数学来说，结构无处不在，结构是由许多节点和联线绘成的稳定系统。数学中最基本的就是概念结构，它们之间的联系组成了知识网络的结构，剖析高等数学的知识结构，有助于加深对高等数学的理解

高数以极限思想为灵魂，以微积分为核心，包括级数在内，它们都是从量的方面研究事物运动变化的数学方法，本质上是几种不同性质的极限问题。因此，我们在学习这些内容的时候应该掌握它们之间的联系，这样我们在学习的时候就可以做到事半功倍的效果。

我们学习高数要坚持下去，这样我们在取得良好成绩的同时就能体会到数学的独特魅力。学习好高数，对我们的生活学习都很有帮助，在数学的海洋里遨游，我们便能体会到宇宙的智慧。