数学归纳法典型错误_数学归纳法经典题目

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数学归纳法易错题析

－对假设设而不用

例1：用数学归纳法证明 1232

正解（2）假设n=k时命题成立，即71能被8整除。

k

n2

n(n1).(2n1)当n=k+2时，7k2172(7k1)172＝49（7k1)48

错证：①当n1时，左边＝1 ,右边＝

1(11)(211)＝1 所以等式成立。②假设当n=k时等式成立,即1`22232k2

16

k(k1)(2k1)

那么当n=k+1时为122232k2(k1)2

16(k1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

＝1

(k1)(k2)(2k3)也就是说当nk1时，等式成立。由⑴⑵知对任何nN*

等式成立，剖析：用数学归纳法证明第⑵步骤时，在从“k”到“k1"的过程中，必须把n=k的命题作为已给定的条件，要在这个条件基础上去导出nk1时的命题所以在推导过程中，故必须把n=k

时的命题用上，本解法错因是对假设设而不用。正解：⑵12

22

32

k2

(k1)2

＝1

k(k1)(2k1)(k1)26＝

(k1)

[1

k(2k1)(16

k!)]＝

6(k1)(2k27k6)1

(k1)(k2)(2k3)＝1

(k1)[(k1)1][2(k1)1] 即当nk1时，等式成立。由⑴⑵知对任何nN*

等式成立，二机械套用数学归纳法中的两个步骤致误

例2：当n 为正奇数时，7n

1能否被8整除？若能用数学归纳法证明。若不能请举出反例。证明：⑴当n=1时，7＋1＝8能被8整除。命题成立。⑵假设当n=k时命题成立,即7k1能被8整除。则当n=k+1时，7

k1

17(7k1)6不能8整除.由（1）（2）知n为正奇数。7n

1不能被8整除

分析：错因;机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽略了n是整奇数的条件。

证明前要看准已知条件。

因7k

1能被8整除。且48能被8整除。所以7

k2

1能被8整除。所以当 n=k+2时 命题成立。由⑴⑵知当n 为正奇数时，7k

1能被8整除。

三没有搞清从k 到k+1的跨度

例3：求证：

1n11n213n1

1错证：（1）当n ＝1时，不等式成立。

（2）假设n=k时命题成立，即

1k11k21

3k1

1 则当n=k+1时，1k21k3111

3k13(k1)113(k1)

1 就是说当n=k+1时不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。

点评：上述证明中，从k 到k+1的跨度，只加了一项是错误的，分母是相临的自然数，故应是

13k213(k1)1

3(k1)1，跨度是三项。

正确证法：（1）当n＝1时，左边＝

1111121136431213121，不等式成立。（2）假设n=k时命题成立，即

1k11k213k1

1，则当n=k+1时，1k21k3



1113k13k23(k1)1

3(k1)1

＝（111k1k23k1）＋13k213(k1)＋13(k1)11

k1

>1＋[

13k2126k66(k1)

3k43(k1)]19k218k832(k1)2

=1＋

6(k1)9k218k86(k1)

9k218k9

1。

这就是说，当nk1时，不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。