双滑道叉臂式玻璃升降器设计_叉臂式玻璃升降器
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四轮转向车辆系统非线性模型的稳定性和霍普夫分歧
L.Dai a,*, Q.Han b a工业系统工程学院，里贾纳大学，3737 Wascaca Parkway
里贾纳，萨斯克，加拿大 S4S 0A2 b
力学学部，交通与信息学院，华南理工大学
广州 510641，中国
摘要
这篇文章旨在探讨四轮转向(four-wheel-steering, 4WS)车辆的运动和稳定性,它的侧轮胎力呈非线性,并且转向机构的效果很好。对车辆稳态运动建立了一个新的非线性模型。由模型产生的典型的稳态运动的稳定性应用分歧方法被提出来。文章证明，四轮转向车辆的稳态运动的霍普夫分歧是十分明显的。关键词：霍普夫分歧；非线性运动；稳态；四轮转向车辆
1.引言
稳定性对于高速驾驶的车辆来说是至关重要的。高速行驶的车辆由于大的角速度和侧滑角，仅仅转动前轮是不能很好控制车辆转向的。因此四轮转向技术在过去十年中发展起来。自从第一个四轮转向系统被报道，对于四轮转向车辆的不同控制策略就有大量的研究[1-4]。车辆的非线性振动模型和旅客系统也被提出来[5]。但是，很少有文献考虑侧轮胎力的非线性来处理四轮转向车辆闭环系统的动力。因此，对于车辆动力学来说，非线性性能、车辆稳定性和非线性的影响需要一个系统的分析。
本篇文章中，四轮转向车辆驱动系统在转向过程中的一种新的数学模型被建立，考虑了侧轮胎力的非线性和转向机制。数学模型由一系列五维非线性微分方程表示，计算一个驾驶员的操作。非线性自然地从轮胎力和关于动力学运动和滑移角的非线性几何效应中显现出来。基于这个模型，车辆的稳态运动确定了。典型稳态运动的稳定性由分歧理论进一步分析，这样可以估计车辆在稳定性损失之前和之后的动力学性能。研究了稳态运动的霍普夫分歧。
2.车辆/驱动模型
图1展示了车辆模型，其中四轮转向车辆假设是停留在四个轮子上的质量为m的对称刚性体，并且车辆以恒定速度u向前移动。对于这个模型，侧面速度v和偏角速度r为
(1)其中，Iz是车体关于垂直轴z的旋转惯性矩，a和b是G到前后轴的距离，δf和δr分别是前后轮的转向角，Ff和Fr是前轮和后轮上轮胎和地面接触产生的侧向力，VfR是底盘右前角的速度。
把侧向力作为轮胎物理性能和前后轮相应的侧滑角(αf，αr)的函数。轮胎的侧滑角可以由下面图1中展示的简单的几何关系确定：
图 1 四轮转向车辆模型草图
最普遍的轮胎模型是[6]中的幻方公式。然而在最近的文章中，侧向力模型是
其中C1f、C3f、C1r和C3r是由[7]中描述的实验确定的正参数。在公式(1)中，侧向加速度包含两个部分，线性加速度v和由偏角速度产生的加速度r。当车辆的速度变高时，车辆不稳定性很严重。对于车辆不稳定性，很多控制策略被研究。一种最普遍的控制策略是转动后轮胎，在数学上表示为
固定的坐标(x,y,ψ)用来描述车辆的位置,其中(x,y)表示行驶中G的位置和车辆方位角ψ。下面的关系适用于有角度的和线性侧速度：
在四轮转向车辆模型中，驾驶员对车辆的控制是至关重要的并且也应该被引进来。驾驶员以δf(t)的转向角控制车辆。按照惯例，当他在能见度距离Ld下感觉侧向偏差，偏差针对于道路车道中心线，驾驶员不得不从后面转向车辆以减少同中心线的侧向偏差。驾驶员在转向上的操作用δf(t)描述，1986年在[8]中建立模型。引进一个环路增益K，感知时间延迟Tr和驾驶员的正面能见度Ld，驾驶员的转向与状态构件y(t)有关，没有时间延迟的公式如下[9,10]：
(2)公式(2)中考虑人的操作，车辆运动的控制方程由下面的状态变量形式表示：
(3)其中
相应的侧滑角如下：
3.稳态运动
方程(3)给出的一系列关于车辆稳态运动的非线性代数方程中的消失的条文被获得。相对方程(3)的平凡的和非平凡解为：
平凡解：
非平凡解：
动力系统由于轮胎力的立方非线性，会有平凡解和一些非平凡解。这些解与其他模型比较是十分特别的。
4.平凡解的稳定性
扩展系统(3)成为多维泰勒级数，xi围绕Χe直到第三阶，我们有
(4)其中
相应的特征方程可以被表示为
(5)其中
由于a0≠0，方程(5)的根都不为零。因此，当方程(5)只有一对虚根λ1,2=±iω时，平凡稳态运动变得不稳定[11,12]。把λ1,2=±iω代入方程(6)，所得结果的实部和虚部导致下面的情况：
(6)(6)中第二个方程的根有如下形式：
(7)从方程(6)中消除ω4，把根代入方程(7)，可以得到
如果矩阵A(γ)的所有特征值在(4)中有负的实部，系统在Χe附近稳定。这些特征值是模型物理参数的函数。
5.霍普夫分歧
考虑霍普夫分歧，需要横断条件如
(8)其中μ=u-ucr是系统的分歧参数，并且当μ=0时λ=±ωi。把u、Ld和λ作为分歧参数μ函数的控制参数。方程(5)关于μ的差别是
(9)把μ=0，λ=ωi代入方程(9)得到
其中
从方程(8)中，横断条件被表示为
6.数值结果
为了验证本文中的非线性模型，[3]中给出的参数被使用如下：
确定二维平面(a,u)的稳定边界，图2-4中举例说明，KL分别为0，0.3和0.5。曲线中，矩阵A有一对纯虚特征值λ=±iω。系统是稳定时u＜ucr，而不稳定时u＞ucr。对于u＜ucr，系统中产生霍普夫分歧。参数平面的稳定性随着Kd和KL的增加而变大。
因此，当四轮转向车辆驱动系统沿着直线运动的时候有一个平凡稳态运动，这和由于侧向轮胎力的立方非线性导致的八个非平凡稳态运动一样。和二轮转向车辆相比，四轮转向车辆在(a,ucr)平面有一个更大的稳定区域。关键稳定曲线有一个敏感范围，质量中心位置的一个小的偏差会引起临界速度的较大的变化。这对车辆的稳态运动不利。
此外，横断条件保留的方程解能够在数值上证明，霍普夫分歧存在于二轮转向和四轮转向车辆系统的平凡稳态运动中。方程(3)用自适应的库塔积分算法计算数值解，图5和6显示了时程的运动曲线和相位平面。很明显，霍普夫分歧存在于二轮转向和四轮转向车辆系统的平凡稳态运动。结论就是，如果车辆速度超过临界值，车辆的侧向运动就会周期震荡。
图 2 二轮转向车辆的稳定曲线(KL=0)(a)Ld=15,(b)Ld=30,(c)Ld=45,(d)Ld=60。
图 3 四轮转向车辆的稳定曲线(KL=0.3)(a)Ld=15,(b)Ld=30,(c)Ld=45,(d)Ld=60。
图 4 四轮转向车辆的稳定曲线(KL=0.5)(a)Ld=15,(b)Ld=30,(c)Ld=45,(d)Ld=60。
图5(a)v相对t的曲线，(b)r相对t的曲线，(c)r相对ψ的曲线(u=15m/s,u
图 6 霍普夫分歧(二轮转向：KL=0, u=25m/s, u>ucr；四轮转向：u=40m/s, u>ucr)。(a)y相对t的曲线(KL=0),(b)r相对ψ的曲线(KL=0),(c)y相对t的曲线(KL=0.3),(d)r相对ψ的曲线(KL=0.3),(e)y相对t的曲线(KL=0.5),(f)r相对ψ的曲线(KL=0.5)。
参考文献
略
