·《高等数学基础》形考第三次作业参考答案_高等数学基础作业答案

·《高等数学基础》形考第三次作业参考答案由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“高等数学基础作业答案”。

《高等数学基础》形成性考核册答案

《高等数学基础》形成性考核册

第三次作业参考答案

第四章

导数的应用

一、单项选择题

1、D

2、D

3、A

4、C

5、C

6、A

二、填空题

1、极小值2、03、(,0)

4、(0,)

5、f(a)

6、(0,2)

三、计算题

1、求函数y(x1)(x5)的单调区间和极值。

2解：函数的定义域是(,)。

求导：

y(x1)(x5)(x1)((x5))

(x5)(x1)2(x5)

(x5)(3x3)

令y(x5)(3x3)0，得x5或x1； 令y(x5)(3x3)0，得1x5；

因此，单调上升区间为(,1)何(5,)，单调下降区间为(1,5)。2222、求函数y解：求导数： x2x3在区间[0,3]内的极值点，并求最大值和最小值。2 y2x2

令y2x20，得驻点为x0； 求二阶导数：

y20

《高等数学基础》形成性考核册答案

因此，x0为函数的极小值点。函数没有极大值点。

计算并比较函数值：

f(0)3,f(3)6,f(1)2

可见，最大值是f(3)6，最小值是f(1)2。

3、求曲线y22x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短。

解：设曲线上点坐标为(x,y)，它到点A(2,0)的距离为 d(x2)(y0)(x2)y 2222(x2)2x 2x2x4

12x1x2x422求导数：dx2x42(2x2)x1x2x42

令d0，得唯一驻点是x1。根据问题的实际背景可知这是所求的点的横坐标。代入曲线方程，可得y2。所以，所求的点为(1,2)何(1,2)。

4、圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？

解：如右图所示，设底面半径为r，高为h，体积为V。则上底中心到下底边沿的距离为

Lrh

222计算体积：

Vrh 2 h(Lh)

hLh 2322令VL3h0，求得唯一驻点为h223L3。2

《高等数学基础》形成性考核册答案

根据问题的实际意义可知，这个值即为所求。此时，rLh22L2L236L3

所以，当底面半径为

6L3，高为

3L3时体积最大。

5、一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？

解：如右图所示，设圆柱体的底面半径为r，高为h，表面积为y。

根据条件知该圆柱体的体积为V2：

Vrh表面积等于上、下底的面积与侧面积的和，因此

y2r2rh 2 2r2r 2r令V4r2Vr222Vr2

2Vr

3V20，得唯一驻点为r34V。根据问题的实际意义知驻点即为所求结果。代入可求得h所以，底面半径为3V2。

4V，高为3时圆柱体的表面积最小。

6、欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

解：设底面边长为x米，高为y米，表面积为S平方米。

根据条件，体积：xy62.5。表面积等于底面面积加四个侧面面积：

Sx4xyx4x22262.5x2x2250x

令S2x250x20，求得唯一驻点为x5（米），根据问题的实际意义可知，这就是所求的底面边长。此时，y2.5（米）。所以，底面边长为5米，高2.5米时用料最省。

《高等数学基础》形成性考核册答案

四、证明题

1、当x0时，证明不等式xln(1x)

证明：令f(x)xln(1x)(x0)，则f(x)在[0,)上连续，在(0,)内可导。

由于

f(x)111xx1x0(x0)

因此，函数f(x)在[0,)上是单调上升的，即当x0时有

f(x)xln(1x)f(0)0

所以命题成立。

2、当x0时，证明不等式exxx1。

证明：令f(x)ex1(x0)，则f(x)在[0,)上连续，在(0,)内可导。

由于

xf(x)e10(x0)

因此，函数f(x)在[0,)上是单调上升的，即当x0时有

f(x)ex1f(0)0

x所以命题成立。