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嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

摘要

一，问题的背景

二，问题的重述 三，模型假设 四，符号说明 五，问题分析 六，模型建立与求解

5．模型的建立与求解分析

5.1 问题（1）的模型建立与求解 5.1.1 二体问题模型

已知二体问题中m相对于m的运动轨迹是用轨道来描述的，根据开普勒定律的数12学描述，我们知道上述二体问题的轨道方程为：

hr（1）

1ecos式中表示引力参数，查阅资料得月球引力参数4903km3/s2，h表示角动量，e表示偏心率.嫦娥三号轨道为椭圆轨道,其中0e1式中分母将随着的变化而变化,且不可能为零,因此相对位置矢量仍保持有界,并在近地点处有最小模值rp.当180o时,式1取最小值,r达到最大值.该点称为远地点，其径向坐标记为ra，得：1ecosh21ra

（2）

1e同理当0o时，得：

h21rb

（3）

1e已知嫦娥三号近月点远月点分别为15km，100km月球平均半径为1737.013km.带rh2入（1）（2）式中可求得长径ra=1837.013km，短径rb=1752.013km，偏心率e可根据解rarb85e0.023683.又已知角动量方程 椭圆偏心率方程求得erarb3589.026hvxx

（4）

rx将ra，rb与e分别带入（2）式（4）式与（1）式（4）式可得相应远地点与近地点嫦娥三号的速度va1.692km/s，vb1.614km/s.5.1.2

制动段飞行动力学建模与制导律设计该段中,着陆器距离月面相对较高,且着陆器走过的月面距离比较长,将月球视为平面建立模型会带来较大的偏差.因此,制动段有必要将月球视为球体来建立均匀球体下的三维软着陆模型.制动段推进系统采用常值推力方式,通过姿态控制来完成制动力方向的改变。

均匀球体下的三维软着陆动力模型

首先定义几个坐标系。(1)参考惯性坐标系Orxryrzr：原点Or位于月球中心，zr轴月心指向初始软着陆点，xr轴位于环月轨道平面内且指向前进方向，yr轴与xr轴、zr轴构成三维直角坐标系。该坐标系仅用于主减速段和该段的制导律设计中。(2)下降轨道参考坐标系Ooxoyozo：原点Oo位于着陆器质心，zo轴由月心指向着陆器质心，xo轴位于当地水平面内且指向着陆器前进方向，yo轴与zo轴和xo轴构成直角坐标系。(3)着陆器体坐标系Ooxbybzb：原点Oo位于着陆器质心，xb轴位于推力矢量延长线上，沿推力方向为正，yb轴和zb轴分别根据着陆器上仪器设备的安装而定，并与xb轴构成直角坐标系

坐标系定义及推力矢量位置关系如图1和图2所示。图1给出了软着陆过程中几个坐标系的示意图及着陆器在坐标系中的位置。图2给出了制动推力矢量F在下降轨道参考坐标系中的位置。用推力方位角和推力仰角描述推力F与坐标系Ooxoyozo之间的位置关系，定义为：推力方位角绕正zo轴旋转为正，推力仰角绕负yo轴旋转为正。

分别用U，V，W表示着陆器下降速度在坐标系Ooxoyozo三轴上的分量。若忽略月球自转，同时引入质量方程，可利用球坐标系与直角坐标系的关系最终得到如下软着陆动力学模型：

FcoscosUWV2Umrrtan.FcossinVWUVVmrrtan.FsinmU2V2W2mrr

.rW.Vr.FmIspge.式中，m为月心引力常数；r为着陆器矢径；ve为推进系统的比冲，s；ge为地球表面重力加速度；vege为常量。

自环月轨道近月点开始的软着陆初始位置和初始速度可写为：

xu,yv,zw.uaFcoscos.vaFcossin.waFsingm终端约束条件除了三轴速度分量的主要约束外，还包括高度方向的位置约束，表示如下：...2燃料最优制导律设计

2.1最优控制问题的提出

式(1)表示的软着陆动力学模型显然是一个线性动力学模型，直接求解最优控制问题比较复杂，且难以获得解析形式的表达式，通常需要利用给定初值进行迭代的方法求解，不利于在飞行器上实现自主控制。因此，需要对软着陆模型进行简化。首先引入两个假设：(1)平面月球假设，即假设月球表面为平面，引力场均匀，且月球引力加速度为常数；(2)质量不变假设，即着陆器的质量在一定时间间隔内认为是不变的，亦即推力加速度为常值。对于平面月球假设，参考坐标系与下降轨道坐标系Ooxoyozo的瞬时坐标轴一致，分别用u，v，w表示其速度分量。

上面的假设仅用于下面的单步优化计算中。在此假设前提下，式(1)所表示的动力学模型可简化为：

由于软着陆制动段需要抵消较大的初始速度，因此应将燃料消耗作为优化目标。对于制动段的连续制动控制，燃料最省可转化为着陆过程所需时间最短，于是定义性能指标函数：

Jdt 0 tf~=**，使得着陆器在最短时间内由初值X 求解式(5)的最优问题，就是寻求最优控制u0*T转移到终值Xf。而与之对应的状态方程的解X即为软着陆的最优下降轨迹。

对于式（4）和式（5）表示的优化问题，通常是通过过给定初值进行迭代的方法求得协状态变

*~。为简化其迭代运算，文献[4]利用当前状态进行推力方向角控量或中间变量，最终获得最优控制u*~=**即可制量的单步优化，即在剩余时间间隔[0，tgo]内进行局部时间的优化，这样控制量u*T通过每一步的优化计算不断更新。

2.2次优解析制导律设计

根据嫦娥三号具体飞行情况：自近月点开始的软着陆其轨道面内纵向水平初始速度远大于另外两个方向的初始速度，即u0》v0（w0）。因此，反推制动系统的主要目的是为了抵消水平初始速度u0，这样推力仰角可认为是小量，而推力方位角1800。于是对于式(4)，利用最大值原理，可以得到如下4个方程：uf(aFcos0)tgou0uf(aFsin0)tgov02aFk2tgo wf(aFk1gm)tgow0232aFk2tgo(aFk1gm)tgozfw0tgoz062

上面的方程组含有4个未知数0，k1，k2tgo，解这个四元方程组即可得到4个未知数，亦即间接得到了这个简化模型下单步最优问题的解。

求解推力角控制量前，首先估算剩余时间t。由式(6)前两式易得: tgo(UfU)2(VfV)2aH

式中，(U，V)和(Uf，Vf)分别为着陆器在当地水平方向当前时刻和终端时刻的两个速度分量；aH为当前时刻推力加速度的当地水平分量。

同理，由式(6)前两式易得推力方位角控制量*的表达式：

0arctan*VfVUfU

下面求取推力仰角。结合式(6)，直接写出径向加速度的表达式：

arWaFk2gm6(rfr)2(2WWf)tgo2tgo.式中，(r,W)和(rf,wf)分别为径向(高度方向)的当前时刻和终端时刻的位置和速度分量。于是，将式(9)代人式(1)第3式中，即可得到推力仰角控制量：

arcsin*armr2U2V2raF

式中，为当前时刻推力加速度的大小。式(8)和式(10)即为单步优化最优控制量，它们只决定于着陆器的当前状态和终端约束条件，且都为已知或通过星上设备测得，因此制导律可利用简单计算实时得到。

2.3推力角前馈项的引入 由2．2节可知，式(8)和式(10)两式表示的推力角制导律与初始位置和速度无关，并不能纠正由初始条件带来的偏差。而实际飞行中，软着陆初始位置和速度偏差的存在将对着陆点水平方向的位置精度产生较大的影响。因此，考虑在制动段下降之前，在式(8)和式(10)推力角控制量的基础上分别引入前馈项，用于消除初始偏差对着陆精度的影响。

由图1和图2可知，和0分别控制当地水平面内横向和纵向的位置和速度。因此，根据初始位置和速度偏差的正负和大小，就可以给出两个控制量的前馈项为5.2 问题（2）模型的建立与求解 第四阶段

根据问题的分析，该段中嫦娥三号着陆器进入快速调整阶段,由于距离月球表面很近,且调整下降的时间很短,水平速度很小,因此我们将经过的月球表面视为平面,并以此建立月球平面直角坐标系.图

4、月球平面直角坐标系

图示月球平面直角坐标系中,设嫦娥三号着陆轨道的第一制动点在月球表面的投影为原点O,Z轴垂直于月球表面,X轴指向嫦娥三号运动的方向,则嫦娥三号的下降轨迹位于此平面内.根据重力转弯软着陆的情况,反推力Fthrust的方向与嫦娥三号运动方向相反.则我们得出如下动力学方程

&&xVx(Fthrustcos)/m(FVx)/(mV)&&zVz(Fthrustsin)/mgm(FVz)/(mV)gm

上式中,m为飞行器质量，因时间很短，我们设其为常量；（常数）为月球表面重力加速度，在本阶段，我们认为其始终垂直于X轴即月球表面，为嫦娥三号速度矢量v与X轴的夹角，以X轴开始逆时针旋转为正，V为嫦娥三号速度的模.在运动速度v垂直于它的方向还可以建立如下动力学方程 &hvcos &v(F/m)gugmcos &(gmsin)/v &cgu m这里，我们补充了高度方向的微分方程和质量变化方程；其中为速度方向与竖直方向的夹角，由竖直方向逆时针转动为正；常数c为燃料秒消耗量；u为制动力的开关量，以图4中F所示方向为正。

由以上两式表示的推力角制导律与初始位置和速度无关，并不能纠正由初始条件带VVx2Vz2来的偏差。而实际着陆过程中，软着陆初始位置和速度偏差的将对着陆点水平方向的位置精度产生较大的影响。因此，我们考虑在制动段下降之前，在上式推力角控制量的基础上分别引入前馈项，用于消除初始偏差对着陆精度的影响。由图1和图2可知和0分别控制当地水内横向和纵向的位置和速度。因此，根据初始位置和速度偏差的正负和大小，就可以给出两个控制量的前馈项为：

KyerrKVVerr KxerrKUUerr

上式中，Kx，Ky，KV，KU为推力角控制量的前馈项系数，可通过仿真得到；U，分别为纵向和横向的速度分量；以制动段初始点为起点，为与着陆器位置有关的参数。则着陆器经过的纵向和横向的月面距离可表示为：

LRm(0)

SRm(0)sin

于是，综合上式即可得到软着陆制动段燃料次优前馈解析制导律：



4.1 着陆段垂直动力学模型

在该阶段中, 着陆器的位置距离月面非常近, 并且着陆器几乎完全沿竖直方向快速下降.因而, 该段仍可采用平面月球动力学模型,。在理想情况下考虑, 着陆器在100m至30m进行精避障着陆段沿竖直方向下降, 则可在平面月球二维模型基础上简化为一维垂直动力学模型, 即要求着陆器的飞行路径角γ = 90°.因此, 该式可简化为 yWF.u/mgm(u为制动推力，F 的开关控制量）。着陆段一维垂直下降过程如图所示...假设推力F大小固定的情况, 先关后开是最简单的着陆方式.于是, 着陆器依次经过悬停、匀加速过程.两个过程均符合牛顿定律, 易得开关切换高度

22v0vl2l2(a2lh2la1lh0l)h1I

2(a2la1l)

其中, 合加速度a1laF1lgm， a2laF2lgm.鉴于对着陆的安全性考虑, 因而要利用光学敏感成像技术对着陆区域进行成像勘察，要求嫦娥三号悬停在距离月面100m处，对着陆点附近区域100m范围内拍摄图像，并获得三维数字高程图。分析三维数字高程图，避开较大的陨石坑，确定最佳着陆地点，实现在着陆点上方30m处水平方向速度为0m/s。所以着陆段初始要进行短时间的悬停,且由于着陆段时间很短, 因此应保证着陆器平缓下降, 尽量避免受制动发动机的开关冲击。于是, 可考虑采用F=F(t)的等效变推力制动方式。

首先给出计算的初始条件.假设着陆器初始质量2200kg, 采用1500~7500 N 的变推力系统, 推力比冲为300 m/s.着陆器从200 km×15 km 高度的椭圆转移轨道近月点开始软着陆, 制动段终端高度为2 km, 三轴终端速度分量皆为0;接近段终端高度为100 m, 终端速度为0;要求着陆段关机高度不小于4 m, 可以看出, 软着陆飞行轨迹和制导律的设计是有效的。5.2 着陆精度仿真分析

精度仿真通常涉及的软着陆误差源主要包括执行机构误差和导航设备测量误差2部分。此外, 还包括月球非球形引力摄动和日、地引力摄动等环境干扰引起的误差。其中, 测量误差包括装置(IMU)测量误差、地面测轨误差、惯性误差、多普勒测速雷达误差、雷达高度计以及;执行机构误差主要包括推力误差.下面给出测量和推力综合误差情况下采用变推力方案的着陆参数和着陆误差分布情况.以下关于误差的分析均采用蒙特卡罗打靶, 打靶次数为500 次,假设各误差均符合正态分布.图7 给出了着陆器在月面2 个方向上500 次打靶计算的着陆点散布情况.可以看出, 在本文给出的测量和推力偏差条件下, 着陆误差散布在1 km 范围内.图8 给出了500 次打靶计算中关机高度和着陆速度的散布情况.容易看出, 关机高度皆大于4 m, 而着陆速度也基本满足不大于4 m/s 的要求.图9给出的是着陆时在月面两个方向的速度误差的散布情况.表明在绝大多数情况下着陆的水平速度不大于1 m/s, 符合要求.