高中物理竞赛讲座讲稿：第五部分《振动和波》_高中物理竞赛讲座讲稿

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第五部分 振动和波

第一讲 基本知识介绍

《振动和波》的竞赛考纲和高考要求有很大的不同，必须做一些相对详细的补充。

一、简谐运动

1、简谐运动定义：F= －kx

①

凡是所受合力和位移满足①式的质点，均可称之为谐振子，如弹簧振子、小角度单摆等。谐振子的加速度：a= －

2、简谐运动的方程

回避高等数学工具，我们可以将简谐运动看成匀速圆周运动在某一条直线上的投影运动（以下均看在x方向的投影），圆周运动的半径即为简谐运动的振幅A。

依据：Fx = －mωAcosθ= －mωx

对于一个给定的匀速圆周运动，m、ω是恒定不变的，可以令：

mω = k

这样，以上两式就符合了简谐运动的定义式①。所以，x方向的位移、速度、加速度就是简谐运动的相关规律。从图1不难得出——

位移方程：x = Acos(ωt + φ)

②

速度方程：v = －ωAsin(ωt +φ)

③

加速度方程：a= －ω2A cos(ωt +φ)

④ 相关名词：(ωt +φ)称相位，φ称初相。

2运动学参量的相互关系：a= －ωx

A =

x0(2kxm

2

22v0)2

tgφ= －

v0x03、简谐运动的合成a、同方向、同频率振动合成。两个振动x1 = A1cos(ωt +φ1)和x2 = A2cos(ωt +φ2)合成，可令合振动x = Acos(ωt +φ)，由于x = x1 + x2，解得

A = A1A22A1A2cos(21)22，φ= arctg

A1sin1A2sin2A1cos1A2cos2

显然，当φ2－φ1 = 2kπ时（k = 0，±1，±2，„），合振幅A最大，当φ2－φ1 =（2k + 1）π时（k = 0，±1，±2，„），合振幅最小。b、方向垂直、同频率振动合成。当质点同时参与两个垂直的振动x = A1cos(ωt + φ1)和y = A2cos(ωt + φ2)时，这两个振动方程事实上已经构成了质点在二维空间运动的轨迹参数方程，消去参数t后，得一般形式的轨迹方程为

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x²2π〕= Acos〔ω（t方程。

3、波的干涉

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值即可。如果v1的方向不是正对S，只要将v1出正对的分量即可。

b、只有波源相对介质运动（如图4所示）设波源以速度v2正对静止的接收者运动。

如果波源S不动，在单位时间内，接收者在A点应接收f个波，故S到A的距离：SA= fλ

在单位时间内，S运动至S′，即SS= v2。由于波源的运动，事实造成了S到A的f个波被压缩在了S′到A的空间里，波长将变短，新的波长

λ′= SAfSASSf= =

fv2f=

vv2f

而每个波在介质中的传播速度仍为v，故“被压缩”的波（A接收到的波）的频率变为

f2 = vvvv2= f

当v2背离接收者，或有一定夹角的讨论，类似a情形。

c、当接收者和波源均相对传播介质运动

当接收者正对波源以速度v1（相对介质速度）运动，波源也正对接收者以速度v2（相对介质速度）运动，我们的讨论可以在b情形的过程上延续„

f3 = vv1v f2 = vv1vv2f

关于速度方向改变的问题，讨论类似a情形。

6、声波

a、乐音和噪音

b、声音的三要素：音调、响度和音品 c、声音的共鸣

第二讲 重要模型与专题

一、简谐运动的证明与周期计算

物理情形：如图5所示，将一粗细均匀、两边开口的U型管固定，其中装有一定量的水银，汞柱总长为L。当水银受到一个初始的扰动后，开始在管中振动。忽略管壁对汞的阻力，试证明汞柱做简谐运动，并求其周期。

模型分析：对简谐运动的证明，只要以汞柱为对象，看它的回复力与位移关系是否满足定义式①，值得注意的是，回复力F系指振动方向上的合力（而非整体合力）。当简谐运动被证明后，回复力系数k就有了，求周期就是顺理成章的事。

本题中，可设汞柱两端偏离平衡位置的瞬时位移为x、水银密度为ρ、U型管横截面积为S，则次瞬时的回复力

ΣF = ρg2xS = 2mgLx

2mgL由于L、m为固定值，可令：谐运动。

= k，而且ΣF与x的方向相反，故汞柱做简www.daodoc.com

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如，我们可以求出松鼠的运动周期为：T = 2π

二、典型的简谐运动

1、弹簧振子

mk = 2π

3L2g = 2.64s。

物理情形：如图8所示，用弹性系数为k的轻质弹簧连着一个质量为m的小球，置于倾角为θ的光滑斜面上。证明：小球在弹簧方向的振动为简谐运动，并求其周期T。

学生自己证明…。周期T = 2π

mk

模型分析：这个结论表明，弹簧振子完全可以突破放置的方向而伸展为一个广义的概念，且伸展后不会改变运动的实质。其次，我们还可以这样拓展：把上面的下滑力换程任何一个恒力（如电场力），它的运动性质仍然不会改变。

当然，这里的运动性质不变并不是所有运动参量均不改变。譬如，振子的平衡位置、振动方程还是会改变的。下面我们看另一类型的拓展——

物理情形：如图9所示，两根相同的弹性系数分别为k1和k2的轻质弹簧，连接一个质量为m的滑块，可以在光滑的水平面上滑动。试求这个系统的振动周期T。

解说：这里涉及的是弹簧的串、并联知识综合。根据弹性系数的定义，不难推导出几个弹性系数分别为k1、k2、„、kn的弹簧串、并联后的弹性系数定式（设新弹簧系统的弹性系数为k）——

串联：1k = i1nn1kii

并联：k = k

i1在图9所示的情形中，同学们不难得出：T = 2π

m(k1k2)k1k2

当情形变成图10时，会不会和图9一样呢？详细分析形变量和受力的关系，我们会发现，事实上，这时已经变成了弹簧的并联。

答案：T = 2πmk1k2。

思考：如果两个弹簧通过一个动滑轮（不计质量）再与质量为m的钩码相连，如图11所示，钩码在竖直方向上的振动周期又是多少？

解：这是一个极容易出错的变换——因为图形的外表形状很象“并联”。但经过仔细分析后，会发现，动滑轮在这个物理情形中起到了重要的作用——致使这个变换的结果既不是串联、也不是并联。

★而且，我们前面已经证明过，重力的存在并不会改变弹簧振子的振动方程，所以为了方便起见，这里（包括后面一个“在思考”题）的受力分析没有考虑重力。

具体分析如下：

设右边弹簧的形变量为x2、滑轮（相对弹簧自由长度时）的位移为x、钩子上的拉力为www.daodoc.com

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位置做最大摆角为θ的单摆运动，如果θ≤5°，则小球的摆动周期为T = 2π

2Lga

22物理情形2：某秋千两边绳子不等长，且悬点不等高，相关数据如图14所示，且有a + b = L + L，试求它的周期（认为人的体积足够小）。2212模型分析：用C球替代人，它实际上是在绕AB轴摆动，类似将单摆放置在光滑斜面上的情形。故视重加速度g视 = gcosθ= g

a2ab2，等效摆长l = CD，如图15所示。

由于a + b = L + L可知，AC⊥CB，因此不难求出 221222CD= L1L2L1L222，最后应用单摆周期公式即可。

答案：T = 2πL1L2ag。

相关变换1：如图16所示，质量为M的车厢中用长为L的细绳悬挂着一个质量为m的小球，车轮与水平地面间的摩擦不计，试求这个系统做微小振动的周期。

分析：我们知道，证明小角度单摆作简谐运动用到了近似处理。在本题，也必须充分理解“小角度”的含义，大胆地应用近似处理方法。

解法一：以车为参照，小球将相对一个非惯性系作单摆运动，在一般方位角θ的受力如图17所示，其中惯性力F = ma，且a为车子的加速度。由于球在垂直T方向振动，故回复力

F回 = Gsinθ+ Fcosθ= mgsinθ+ macosθ ① *由于球作“微小”摆动，其圆周运动效应可以忽略，故有 T + Fsinθ≈ mgcosθ ② 再隔离车，有 Tsinθ= Ma ③ 解①②③式得 F回 =

m(mM)gsinMmsin2

m(mM)gsinM*再由于球作“微小”摆动，sinθ→0，所以 F回 = 令摆球的振动位移为x，常规处理 sinθ≈解④⑤即得 F回 = 显然，m(mM)gMLm(mM)gMLxL2

④

⑤

x = k是恒定的，所以小球作简谐运动。最后求周期用公式即可。

解法二：由于车和球的系统不受合外力，故系统质心无加速度。小球可以看成是绕此质心作单摆运动，而新摆长L′会小于L。由于质心是惯性参照系，故小球的受力、回复力的合成就很常规了。

若绳子在车内的悬挂点在正中央，则质心在水平方向上应与小球相距x =

MmMLsinθ，www.daodoc.com

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法。设相对振动为y，有

y = y1 − y2 = Acos(ωt + φ1)− Acos(ωt + φ2)

= −2Asin122122sin(t)解说：（1）光斑相对屏幕静止不动，即y = 0，得 φ1 = φ

2（2）要振幅为2A，必须sin答案：初位相相同；初位相相反。

相关变换：一质点同时参与两个垂直的简谐运动，其表达式分别为x = 2cos(2ωt +2φ)，y = sinωt。（1）设φ =

2122 = 1，得φ1 − φ2 = ±π，求质点的轨迹方程，并在xOy平面绘出其曲线；（2）设φ = π，轨迹曲线又怎样？

解：两个振动方程事实已经构成了质点轨迹的参数方程，我们所要做的，只不过是消掉参数，并寻求在两个具体φ值下的特解。在实际操作时，将这两项工作的次序颠倒会方便一些。

（1）当φ = 2时，x = −2(1 − 2sinωt)，即 x = 4y − 2

22描图时应注意，振动的物理意义体现在：函数的定义域 −1 ≤ y ≤ 1(这事实上已经决定了值域 −2 ≤ x ≤ 2)（2）当φ =π时，同理 x = 2(1 − 2sinωt)= 2 − 4y

答：轨迹方程分别为x = 4y2 − 2和x = 2 − 4y2，曲线分别如图21的（a）（b）所示——

四、简谐波的基本计算 物理情形：一平面简谐波向−x方向传播，振幅A = 6cm，圆频率ω= 6πrad/s，当t = 2.0s时，距原点O为12cm处的P点的振动状态为yP = 3cm，且vP ＞ 0 ,而距原点22cm处的Q点的振动状态为yQ = 0，且vQ ＜ 0。设波长λ＞10cm，求振动方程，并画出t = 0时的波形图。

解说：这是一个对波动方程进行了解的基本训练题。简谐波方程的一般形式已经总结得出，在知道A、ω的前提下，加上本题给出的两个特解，应该足以解出v和φ值。

由一般的波动方程y = Acos〔ω（t高考资源网（ks5u.com）

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参照简谐运动的位移方程和速度方程的关系，可以得出上面波动方程所对应质点的速度（复变函数）

v = −ωAsin〔ω（t即 6π（2

312v）+ φ〕＞ 0）+ φ = 2k1π即 6π（2

222v）+ φ〕＜ 0）+ φ = 2k2π + ②

又由于 AB = 22 − 12 = 10 ＜λ，故k1 = k2。解①②两式易得 v = −72cm/s，φ=

23（或−

43）

x72所以波动方程为：y = 6cos〔6π（t + 当t = 0时，y = 6cos（12）+

23〕，且波长λ= v

2 = 24cm。

x + 23），可以描出y-x图象为——

答案：波动方程为y = 6cos〔6π（t + x72）+ 23〕，t = 0时的波形图如图22所示。

相关变换：同一媒质中有甲、乙两列平面简谐波，波源作同频率、同方向、同振幅的振动。两波相向传播，波长为8m，波传播方向上A、B两点相距20m，甲波在A处为波峰时，乙波在B处位相为−因干涉而静止的各点的位置。

解：因为不知道甲、乙两波源的位置，设它们分别在S1和S2两点，距A、B分别为a和b，如图23所示。

它们在A、B之间P点（坐标为x）形成的振动分别为——

y甲 = Acosω（t高考资源网（ks5u.com）

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当甲波在A处（x = 0）为波峰时，有 ωt = 此时，乙波在B处（x = 20）的位相为−结合①②两式，得到 b − a = 2 所以，甲波在任意坐标x处的位相 θ乙波则为θ = ωt −

4甲

a4 ①

b42，有 ωt − = −

2 ②

= ωt −

4（a + x）

乙

（22 + a − x）

甲两列波因干涉而静止点，必然满足θ −θ

乙

=（2k