数学教育价值的整合张乃达_数学史与数学教育整合

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数学教育价值的整合张乃达

数学教育的价值是多层面的，因此怎样对这些不同层面的教育价值进行整合，应该是数学教学研究中的重要课题。特别是在数学教育的规范面临着重大改革的今天，对这个课题的研究就显得更为迫切了。下面，笔者仅就最近接触到的几个例子来做一些说明。

一道应用题

大概是出于加强应用意识教育的考虑，在人教社编写的初中代数（第一册下）课本的习题中，新增了一道题：

在容器里有18?SPAN>C的水6L，现在要把8L水注入里面，使容器里混合的水的温度不低于30?SPAN>C，且不高于36?SPAN>C，注入的8L水的温度应在什么范围内？

看到了这道题，我就一直在想，初一的学生怎样才能解出这道问题？ 我们知道，这道题的解决是建立在一条物理定律的基础上的：这就是：每克水温度每升高（或降低）1?/SPAN>C所吸收（或放出）的热量是一个常数。

可是学生并没有学习过这样的定律呀？没有了物理定律为依据，学生怎样才能正确地解决这道题呢？

没有了科学的依据，学生就只好借助于常识！因为学生完全可以从主观的想象出发，默认温度的变化和热量的增减之间存在着线性的关系。对这样的关系，学生是很容易接受的，它好像是人类先天的选择，根本用不着你多说什么，他就会理解！相反地，为了让他们接受“均匀”的关系并不是普遍的关系这样一个观念却是要费很大的力气的！可以说，在人类的认识发展史上，最初总是把直觉，把常识看成真理，看成做出判断的依据的！伴随着这一切的就是愚昧与无知。而我们科学教育的目的首先就是为了让学生确立起这样的观念：常识和感觉都是靠不住的！它们都不是判断是非的标准；为了把人们从直觉中解放出来，为了让学生建立起科学精神——它的精髓就是理性精神——我们付出了多少努力！我们不是要培养学生的创新意识吗？而创新就应该从质疑常识开始！难道为了培养学生的“应用意识”这一切（理性精神，创新意识和科学精神教育的成果）就都不重要了，就应该付出如此巨大的代价？

应该指出的是，笔者并不认为，只有学生学习过的知识才可以应用，也不是说学生不可以尝试用常识或者用猜想来解决问题（如果真是这样岂不是要我们的学生“非礼勿视”了吗？）相反地我认为我们应该鼓励学生去创新，去尝试！鼓励学生用没有证明的结论去解决新问题！但是，应该让学生知道一个界限，你这样推出的结果，是带有尝试的性质的，是需要证明的（实践的证明或理论的证明）。如果不能证明，至少说，你应该明白你的工作还没有做完，问题还没有最后解决！这里表现的就是所谓理性精神！这种精神是一种负责的精神，不论做人，还是做事，都是很重要的。

例如，如果你真的要让学生解上面的题目，就不能像课本上那样简单地给出题目。你还需要做一些说明。例如，你可以告知学生，物理学中有这样的定律，请你利用它解决如下的问题„„，或者，把这个问题设计为研究性问题，让学生用实验证明上述结论，或者让学生说出他这样解题的依据，并查找出这个依据等等。总之不能让学生糊里糊涂地做题。

一个概念的建构

其实像上面这样，以牺牲理性精神为代价，来追求应用意识、解题能力、创新意识以至于“课堂气氛”、“学习效果”的现象是大量存在的。下面又是一个例子：

最近听了一节题为《负整数指数幂》的汇报课，课由省青年教师优秀课大赛一等奖获得者执教。教师很有表演的才能，具有很强的驾驭课堂的能力，年青的老师和更年青的学生在一起，使课充满了青春的活力！

课一开始，教师让学生复述正整数幂的运算性质，接着让学生用两种方法计算a5÷a3：

方法1：用幂的运算法则，有 a5÷a3=a5-3=a2。；

方法2：用分式做，有 a5÷a3=a5/a3=a2。

经过这样的铺垫，教师又让学生计算a5÷a8

学生同样给出了两种解法：

方法1：用幂的运算法则，有 a5÷a8=a5-8=a-3；

方法2：用分式，有 a5÷a8=a5/a8=1/a3。

我想，课的高潮即将出现了，教师马上就会质疑学生的解法：“用方法1解决本题的根据是什么？a-3的意义是什么？”我想，问题情境已经创造出来，认知冲突即将爆发！我等待着精彩场面的出现！，果然，教师提出了问题：他问：同一道题为什么会有不同的结果呢？我们是不是做错了什么呢？

“我们没有做错！”学生充满了自信地说。

教师：既然没有做错，那么我们怎样处理两种不同的结果呢？

学生：它们应该是相等的！

细想起来，学生这样回答是很自然的！因为他们并没有意识到在这个问题中使用方法1有什么不妥！他们经常没有根据地把个别的经验一般化，这是他们认识事物的常用方法。（如他们会自信地认为）对他们来说：下一个结论是一件很简单的事，根本用不着（当然也做不到）深思熟虑！他们还没有养成推理要有根据的习惯，还没有形成强烈的推理意识和反思意识，因而也无法对自己的思维活动进行调控——所有这一切，正有待于数学教育来形成！

因此，建立和发展推理意识、反思意识应该是数学教师的职责，而这一切都应该从让学生意识到自己的结论存在着问题开始。

例如：教师可以问学生：使用方法1解决问题2的根据是什么？也可以问：你这里的a-3表示什么意思？这些问题不仅可以帮助学生进行反思，使思维更加深入，而且可以使学生感受到引进负整数指数幂的必要。

可是，教师却没有这样做！

“对！”教师支持了学生的意见，并且更进一步，他说：“我们可以规定a-3=1/a3。”

更让我吃惊的是，直至下课，教师没有对这个定义做进一步的说明！他不仅没有说明这样下定义的“理由”，也没有说由于以前我们还没有定义过负整数指数幂的意义，因此我们是有下定义的权力的！（就如同我们可以为一名还没有命名的新生儿起名字一样）当然，他更没有交待：随着负整数指数幂的概念的引人，乘幂已经不能再看成是乘法的简捷运算了！这一切给人的感觉好像下定义是可以随心所欲的——“就这样定了！又有什么理由好讲的！”

就在我充满了疑问的时候，我听到了教师的话，他自豪地对学生说：我们发现了负整数指数幂！

而学生呢——从他们的脸上，我相信我是看到了自信！

下课后，我随机地向学生进行了调查，他们都异口同声地说：这节课很容易懂！我相信学生没有说慌，因为他们不可能对课上的一切产生疑问，因为他们还没有具备提出问题的能力。

因此，学生的自信是真诚的，但是却不能不说是幼稚的！这种自信，不仅使我想起了爱因斯坦学习《几何原本》时获得的信心——这种信心支撑着他攀登上了科学的顶峰，取得了人类智慧所能取得的最高成就！我很难想象，我们的学生建立在无知基础上的自信有什么样的价值？它是否能够帮助学生面对未来的挑战？

一个定理的发现

按照新课程标准编写的教材，体现了数学教育的新理念。突出了学生的主体地位，力图让学生通过自己的活动建构数学知识，这当然是有价值的。教材的编者在后记中，谈到了编写的意图。他说：“教材力图向学生提供现实、有趣、富有挑战性的学习素材，为学生提供探索、交流的时间与空间，展现数学知识的形成和应用过程，满足不同学生发展的需求，逐步渗透重要的数学思想方法。”在这种思想指导下编写出来的教材，确实突破了传统教材的规范，给人耳目一新的感觉，不任在形式上和内容上都有很多的创造！但是，我认为，在许多具体的处理上，并没有真正地做到编者对自己提出的要求。

例如新教材中关于勾股定理的逆定理就是一个例子。

教材的标题是《能得到直角三角形吗？》，教材通过历史上的故事提出了问题：

古埃及人曾用下面的方法得到直角。他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处。

按这种做法真能得到一个直角三角形吗？

教材就这样提出了问题，下面我们来看，教材是怎样解决问题的？

教材让学生动手，安排了“做一做”：

下面一组数分别是一个三角形的三边长 a、b、c；

5，12，13； 7，24，25； 8，15，17。

（1）这三组数都满足 吗？

（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量量，它们都是直角三角形吗？

通过这样的操作，教材得到了勾股定理的逆定理。（略）

看了上面的教材，不知道你会有什么样的感觉？就我而言，我是感到了不少的困惑！

我真不知道，在学习这段教材时，学生除了要根据给定的指令进行机械的操作之外，还可以做些什么？问题是由教材提出的！解决问题的方案也是教材给出的！对学生而言，他们在进行操作时甚至连操作的目的都不知道！他们根本不明白在讨论直角的问题时，为什么要让他们去回答“这三组数都满足

吗？”这样的问题！（这是不是编者留给学生去反思的呢？如果是这样，教材至少也要指出思考的方向吧？）因此，从本质上来说，学生的学习是机械的，而不是有意义的！在这样的学习活动中，学生又有什么主体地位可言？教材又在什么地方给学生提供了思维的空间？从实质上说，在这样的教学中学生并不是学习的主人，相反，他们只是教材编写者的工具，是机械地执行指令的机器！这当然是和教材的编写意图背道而驰的！

特别使我感到困惑的是，教材在给出了定理以后，还用旁注的形式问学生“现在你知道古埃及人这样做的道理了吧？”说老实话，如果叫我回答这样的问题，我就只能说：我不知道古埃及人这样做的道理！因为，教材中所做的一切无非是把古埃及人所做的事情又重复了几次而已，难道同样的事情反复出现几次就是合理的了？就可以知道它存在的“道理”了？

另外，我还不知道编者为什么不能对这个事实做出证明？这种既可以加深学生对定理的理解（因为它揭示了定理与勾股定理的联系）又可以为学生接受的证明方法为什么不能采用呢？如果因为某种忌讳（因为我们不能提到欧几里德）不能进行形式化的证明的话，为什么不能用推理来做一些说明？例如是不是可以让学生通过讨论提出自己的思路？能不能建议学生用更多的方法去验证埃及人的三角形是不是直角三角形？能不能让学生想一想，除了用三边做出三角形，再量直角以外，有没有其它验证的方法？例如能不能让学生用两边长做

出直角三角形，然后再看这个三角形和埃及人的三角形有什么关系？（这样那个神秘的就会被学生发现了）为什么一定要让学生“动手”而不允许学生动脑呢？为什么不能发挥思维的力量，不能发挥推理的力量？是学生不具有这样的思维能力，还是根本就不允许学生思维？不允许学生使用演绎的方式？不允许学生发展他们的理性精神？难道数学或者数学教学的性质发生了根本性的变化？（数学已经从思维的科学变成了“技术的科学”？）或者说是数学或者它的教学发生了一场文化意义上的革命？[①]

需要对数学教育的价值进行整合当我们面对着数学教育的现状的时候，不能不说，我们的数学教育并没有充分地发挥出对学生进行理性精神教育的价值。不任是在我国传统的数学教育中，还是在当前的教学改革中，都有人在各种理由下，自觉地或不自觉地放弃了（或者降低了）数学教育在促进理性精神的形成和发展方面的价值。特别值得重视的是在教学改革中出现的某些具有代表性的倾向，在这些倾向中，把发展学生的创新精神和理性精神对立起来；在强调数学的实用价值的同时，否定数学是思维科学的事实；在重视直觉思维的作用的同时否定逻辑思维的主导地位；在非形式化的同时，忽视数学模式化的特点；在强调建构活动的同时，用机械的操作性的活动取代思维活动等等。所有这一切，都偏离了数学教育改革的目标，会对数学教学造成巨大的损害。

实际上，上面所说的创新意识和理性精神、应用价值和文化价值、直觉思维与逻辑思维等等并不是对立的，而是互相促进的，它们完全可以而且应该统一在数学教育之中。数学教育改革的目的之一这是要实现这种统一。因此，我们不能以牺牲理性精神为代价来发展所谓的创新意识，也不能以牺牲思维能力为代价来发展学生的应用能力！这就需要我们对数学教育的各种教育价值进行整合，以发挥它的最大效益。

[1]义务教育课程标准实验教科书《数学》 七年级下册，北京师范大学出版社，2002，165-166页。

[①]应该指出的事，在这里我并不想对[1]作全面的评论，而这是就其中的一个例子发表我的看法，不用置疑的是，[1]确实是有许多精彩之笔的！