排列组合典型问题分球入盒_排列组合问题经典典型
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分 球 入 盒 问 题
高二数学组 朱育璋
分球入盒问题（球在盒子的分布情况）是概率中常见的一类题型，如：
(1)生日问题：n个人的生日的可能情况（每个人生日是365天之一），相当于n个球放入N=365个盒子中的可能情况(设一年365天)；
（2）书籍分堆问题：6本画册分给3份，每份至少一本
（3）名额分配问题：7个参赛名额分给不同班级
（4）有n封信随机的投放在N个信筒中（筒内信数不限）；
此类问题具有背景丰富，应用广泛等特点。本文旨在总结解此类题的规律，理清思路，以便更好的更快的求解问题。
例题分析
【例1】 按下列要求分配6个不同的小球，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1个，1份2个，1份3个；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1个，一人得2个，一人得3个；
分析：（1）为典型无序分组问题，可分三步完成，即拿出一个做第一份，拿出2个做第二份，拿出3个做第三份，完成分组，对于（2）为有序分组问题，可采取先按（1）分组，再进行分配，即排列。
归纳：从1,2问区分分组要求与分配要求，并掌握基本方法。另外，举出类似问题，一起归结为：不同小球投入相同的盒子，不同小球投入不同的盒子
(3)分成三份，1份4个，另外两份每份1个；
(4)甲、乙、丙三人中，一人得4个，另外两人每人得1个；
分析：（3）与（1）问题类型相同，同为分组要求，不同的地方：出现两份小球数目一样，即有均分组，此时按原方法计算会导致重复计算，举例：不妨记6个球为A、B、C、D、E、F，若第一步取了ABCD，第二步取了E，第三步取了F，记该种分法为(ABCD，E,F)，则同样分法中还有(ABCD,F,E)，共2种情况，而这2种情况仅是E，F的顺序
22不同，从排列角度易算出不同的分法为A2，需在原基础上除以A2，消去顺序。
归纳：在分组中出现均分组情况，需要消序，即除以均分组的组数全排列数
【例2】 按下列要求分配6个相同的小球，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1个，1份2个，1份3个；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1个，一人得2个，一人得3个；
一.（1）通过穷举的办法算出结果，认识到分法差异在于各组小球数量的相对性
二.（2）分法差异在于不同的小组小球的数量，方法：先定数量分配，再分配入盒。归纳：
1.球不同，盒子同（分组问题）
方法：典型组合问题，首先明确各组小球的数量，然后逐步算出每一组的组合方式，再相乘。注意：平均分组时，需消序，即除以均分组的个数的全排列数
2.球不同，盒子不同（分配问题）
方法：先组合后排列，首先按1类型算出分组方法，然后将各组整体视为单个元素，再进行排列。
特别地：当每个盒子不限小球的个数时，可让每一个小球依
次选择盒子，各小球的选择方法有b种，总数 ba〃
3.球同，盒子不同（分法的差异：不同盒子所装小球的数量）
穷举法：
隔板法：将a个小球排成一列，小球间形成a-1个空位，从中选择b-1个空位插入隔板，等价于将元素分成b份。
注意;该法要求每个盒子至少有一个小球，不允许空盒
4.球同，盒子同（分法的差异：各盒子所装小球数量的相对性）
穷举法：即把每一个分法详细写出来。
分球入盒问题思考方式
1.如何辨认何种考题属于此题型？
特征：考察对象有两个，一个是待分配的，另一个对象具有容纳功能，常见问题：信件投信箱，多人人选房子住宿，赠书给人
2.辨别哪个是小球，哪个是盒子。
盒子：具有容纳的功能
3.辨别小球（盒子）同还是不同，确定问题的具体类型，准确选择方法。
4.计算概率时，为典型的等可能实验
