《高等数学上册考试试题》_高等数学上册期末考试

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………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效…………… 《高等数学（上）考试试题》

一、填空题(每小题4分，5个小题，共计20分)学院 _____________班级名称_______________学号_____________姓名_____________教师________________1．limx(13x)(12x)(14x)2201030_________。2．设f(x)x(x1)(x2)(x3)(x4),则f(x)0有且仅有_______个实根。________3．设　ysin(1x2),则y4．设　y12xe2x。，则其反函数x(y)的导数x(y)________f(a)f(ax)2x5．设　f(x)为可导函数且满足lim x01，则曲线yf(x)在点(a，f(a))处的切线斜率为________。

二、选择题(每小题4分，5个小题，共计20分)121．当x0时，(1ax)31与cosx1是等价的无穷小，则常数a(32)A、32B、23C、D、23 2．已知axb，当x1f(x)2　处处可导，则有(x，当x1)A、a2，b1B、a2,b1C、a1,b2D、a1，b2 3．设　limx0f(x)f(0)ln(13x)x24,则f(0)等于()A、3B、4C、1D、43)4．设函数yf(x)在点x处可导,则它在点x处的微分dy是指(A、f(x)B、f(x)C、xD、f(x)x 5． 设常数k 0，函数f(x)lnxxek在(0,)内零点个数为()A、1B、2C、3D、01

三、解答题(每小题7分，6个小题，共计42分)

1．计算极限

lim(xe

x0

2x)sinx。

2．设y

y(x)由方程e

xy

sin(xy)y确定,求

dydx。

3．设

xtlntyt

t，(t

1e)确定了函数yy(x),试求

dydx。

4．设函数

f(x)具有连续二阶导数,且f(0)f(0)0,f(0)6,求

f(sin2

lim

x)。

x0

x

5．求数列的极限

limn1

11

n2

n22nn2n． 

6．讨论函数

f(x)lim

1x2nn

1x

2n

x的连续性，若有间断点，判断其类型。

四、证明题(每小题9分，2个小题，共计18分)

1．证明：当

0ab时,bab

ln

ba



baa

成立.2．设f(x)在[0,a]连续，在(0,a)内可导，且f(a)0，证明存在一点

使得3f()f()0。

(0,a)，…

………

… _效__…__…__…__…__…__无__…_师…教… … _…__题__…__…__…__…__…名答姓…__…__…__…__…__内__…_号…学…_…__…__以__…__…__…__…__…称线名…级…班…__…__…__封__…__…__…_ …院…学密………

答案：

一、填空题(每小题4分，5个小题，共计20分)

1．()

2.43．y2cos(1x)4xsin(1x)4．

222

(2xe)e4x

x

2x2

(x0)5． 2

二、选择题(每小题4分，5个小题，共计20分)

1．C2．A3．D4．D5．B

三、解答题(每小题7分，6个小题，共计42分)

x

xe1

2x

1

1．lim(xe

x0xy

2x)sinlim{[1(xe

x0

2x

1)]xe

2x

}

sinx

e。

xy

2．e(yxy)(yxy)cos(xy)y，y

dy

3． y

t

y(ecos(xy))

xy

1x(ecos(xy))。

dtdxdt



t(lnt1)lnt1

t

t。

4．因f(x)具有连续二阶导数

则lim

12

x0,则f(x)及f(x),f(x)在x0都连续 f(sinx)sin2x

4x

f(sinx)x

lim

x0



lim

f(sin

x

x)

x0

lim

f(sin

x)sin2x

limf(sin

x0

x)3 f(0)

x0

2x

11n15．2n222n2，由夹逼准则有nnnn2nn

n

111

limn2221。nn2nnn

6．f(x)lim

1x1x

2n2n

n

x,|x|1



x0,|x|1，x,|x|1

x1

x1

x1

x1

在分段点x

lim

x1



1处，因为limf(x)lim(x)1，limf(x)limx1，即



f(x)lim

x1

f(x),x1是f(x)的跳跃间断点（第一类）；

x1

x1

x1

在分段点x

1

处，因为lim

x1



f(x)limx1，limf(x)lim(x)1，即limf(x)limf(x),x1

x1



x1



是f(x)的跳跃间断点（第一类）。

四、证明题(每小题9分，2个小题，共计18分)

1．证明:令f(x)lnx,则f(x)在(0,)连续,可导

当0ab时,对f(x)在[a,b]上应用拉格朗日中值定则至少存在理

(a,b),使f(b)f(a)f()(ba)

ba1

即lnblnaln



(ba)，又ab且(ba)0，则

1b







1a，故：当0ab时,bab

ln

ba



baa

成立.。

2．证明：令F(x)x3f(x)，因为f(x)在[0,a]连续，在(0,a)内可导，所以F(x)在[0,a]连续，在(0,a)内可导，且F(0)F(a)a3f(a)0，满足罗尔中值定理条件，至少存在一点(0,a)，使得

F()3f()f()0，即3f()f()0。