高数试题1_高数试题和答案1

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一、一、填空题(每小题3分，共15分)

1． 1．设u=x4+y4-4x2y2，则u x x

2． 2．设u=xy+y/x，则u y

3． 3．函数z=x2+4xy-y2+6x-8y+12的驻点是4． 4．设幂级数n0的收敛半径是4，则幂级数n0的收敛半径是

225． 5．设Σ是柱面x+y=4介于1≤z≤3之间部分曲面，它的法向指向含oz轴的一侧，则=二、二、单选(每小题2分，共8分)

1、函数zf(x,y)在点(x0,y0)处连续是它在该点偏导数存在的：

(A)必要而非充分条件；(B)充分而非必要条件；

(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件。答（）

2、微分方程yyxy满足条件y’(2)=1, y(2)=1的解是

(A)y=(x-1)2(B)y=(x+1/2)2-21/

4(C)y=1/2(x-1)2+1/2(D)y=(x-1/2)2-5/4anxnanx2n1x2y2z2dxdy答（）

3、若方程ypyqy0的系数p+qx=0，则该方程有特解

(A)y=x(B)y=e x(C)y=e – x(D)y=sin x答（）

4、微分方程yysinx的一个特解应具有形式答（）

(A)Asin x(B)Acos x(C)Asin x +Bcos x(D)x(Asinx+Bcosx)

三、三、解答下列各题

1． 1．(本小题6分)

利用二重积分计算由曲面z=x2+y2，y=1，z=0，y=x2所围成的曲顶柱体的体积。

2、(本小题7分)证明极限y0不存在。

3、(本小题5分)

2验证：y1=cosωx，y=sinωx都是微分方程y’’+ωy=0的解，并写出该方程的通解。

4、(本小题5分)x2ylim4x0xy

31cosx0xf(x)xx0若s(x)是以2为周期的函数f(x)的Fourier级数之和函x设

数，求S(-3π)。

四、四、解答下列各题：

1、(本小题6分)

12x

更换积分次序：

22、(本小题6分)dxf(x,y)dyx

2求曲线五、五、解答下列各题：

1、(本小题6分)xt1t,y,zt21tt在t=1处的切线及法平面方程。

已知Σ是z=x2+y2上 z≤1的部分曲面，试计算4zds2、(本小题6分)

(zy)dxdy(yx)dxdz(xz)dzdy计算，其中光滑曲面∑围成的Ω的体积为



V。

六、六、解答下列各题

1、(本小题5分)

判别级数n

12、(本小题5分)级数

3、(本小题5分)



nsin



n的敛散性。

1

111325272是否收敛，是否绝对收敛？

3n!xn



2试求幂级数k1n!的收敛半径

4、(本小题5分)

试将函数y=1/(4-x4)展开为x的幂级数

七、(本大题10分)已知上半平面内一曲线y=y(x)(x≥0)过点(0,1)，且曲线 上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴，y轴，直线x=x0所围成的面积与该点纵坐标之和，求此曲线方程。

七、一、填空题(每小题3分，共15分)

1． 1．设u=x4+y4-4x2y2，则u x x22 2． 2．设u=xy+y/x，则u y

3． 3．函数z=x2+4xy-y2+6x-8y+12的驻点是4． 4．设幂级数n0的收敛半径是4，则幂级数n0的收敛半径是 R=

222

5． 5．设Σ是柱面x+y=4介于1≤z≤3之间部分曲面，它的法向指向含oz轴的一侧，则= 0八、二、单选(每小题2分，共8分)

1、函数zf(x,y)在点(x0,y0)处连续是它在该点偏导数存在的：(A)必要而非充分条件；(B)充分而非必要条件；

(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件。答（A）

2、微分方程yyxy满足条件y’(2)=1, y(2)=1的解是(A)y=(x-1)2(B)y=(x+1/2)2-21/4(C)y=1/2(x-1)2+1/2(D)y=(x-1/2)2-5/

4a



n

x

n

a



n

x2n

1

x2y2z2dxdy

答（C）

3、若方程ypyqy0的系数p+qx=0，则该方程有特解(A)y=x(B)y=e x(C)y=e – x(D)y=sin x答（A）

4、微分方程yysinx的一个特解应具有形式答（D）(A)Asin x(B)Acos x(C)Asin x +Bcos x(D)x(Asinx+Bcosx)

九、三、解答下列各题

1． 1．(本小题6分)

利用二重积分计算由曲面z=x2+y2，y=1，z=0，y=x2所围成的曲顶柱体的体积。

1Vdxx2y2dy

1

x

2

2、(本小题7分)

8810

5证明极限y0

x2ylim

4x0xy

3不存在。

[证明]：取不同的直线路径y=kx ykx0 沿不同的路径极限不同，故由定义二重极限不存在。

3、(本小题5分)

验证：y1=cosωx，y=sinωx都是微分方程y’’+ωy=0的解，并写出该方程的通解。

2[验证]：y1’=-ωsinωx,y1’’=-ωcosωx代入方程左端-ωcosωx+ωcosωx=0满足方程。

222

y2’=ωcosωx,y2’’=--ωsinωx代入方程左端-ωsinωx+ωsinωx=0满足方程。故y1、y2皆是微分方程的解。又y1 /y2=(cosωx)/(sinωx)≠常数，故y1与y2线性无关。方程的通解为y=C1cosωx+C2sinωx4、(本小题5分)

x2kx

1lim4x0xk3x3k

21cosx

0xf(x)x

x0若s(x)是以2为周期的函数f(x)的Fourier级数之和函x设

数，求S(-3π)。解：S(-3π)=-π/2十、四、解答下列各题：

1、(本小题6分)

更换积分次序：

22、(本小题6分)

dxf(x,y)dydyfx,ydxdyfx,ydx

x

2y

y

12x

1y

42y

t1t,y,zt2

1tt求曲线在t=1处的切线及法平面方程。

x2y2z111

xy12z1012法线方程42解：切线方程：

4x十一、五、解答下列各题：

1、(本小题6分)

2

已知Σ是z=x+y上 z≤1的部分曲面，计算:

2、(本小题6分)







4zdsd14r2rdr3



(zy)dxdy(yx)dxdz(xz)dzdy计算，其中光滑曲面∑围成的Ω的体积为

V。

解：由高斯公式，原积分=十二、六、解答下列各题

1、(本小题5分)

3dv

v

=3V

判别级数n

1解：因为当n趋于∞时，一般项u n的极限为1，其极限不为0，故级数发散。

2、(本小题5分)级数

nsin



n的敛散性。

1

111222357是否收敛，是否绝对收敛？

n

(2n1)21

1(1)(2n1)2limn1/n4解：原级数=

3、(本小题5分)





原级数绝对收敛。

3n!xn3n3!n!

2lim22n3n!n1!试求幂级数k1n!的收敛半径。解

4、(本小题5分)

试将函数y=1/(4-x4)展开为x的幂级数

R0

1y

解：

七、(本大题10分)已知上半平面内一曲线y=y(x)(x≥0)过点(0,1)，且曲线 上任一点M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴，y轴，直线x=x0所围成的面积与该点纵坐标之和，求此曲线方程。

x4n11x4x42x4n

12nn1444x44n0414



2x2



解：

yyxdxy

x

yyy即yyy0

特征方程：r2-r-1=0

r1,2

12

15

x2

通解：yc1ec2e

1x2

555

初始条件：y(0)=1 , y’(0)=1解得：C1=10，C2=10

15

x2

5特解是：ye

15

x2

5e