长安大学研究生高等有限元期末试卷_有限元研究生期末试题

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3单元和插值函数

3.1 什么是面积坐标？如何计算三角形内某点的面积坐标？ 答：(1)如（a）图所示，三角形内任一点P（x，y），将P与三角形三个顶点i，j，m连成3个三角形。令Ai为i点所对应三角形pjm的面积，Aj为j点所对应的三角形pmi的面积，Am为m点所对应的三角形pij的面积，面积坐标定义为：Lr=Ar /A（i，j，m），其中A为三角形ijm的面积，点p（x，y）用面积坐标可以写为P（Li，Lj，Lm），且Li+Lj+Lm =1。

（2）求某点面积坐标除用定义外，还可用如图（b）所示的方法，即三角形内某点的面积坐标可通过同底三角形的高度比来计算。如图（b）中的Li=hi /Hi。

（a）

(b)

图3.3 面积坐标

3.2 什么是划线法？如何用划线法形成单元的插值函数？

答：（1）划线法是根据形函数的0-1特性，将需要等于零的各结点用直线连接起来（划线）；

（2）在该直线上为零，则在该直线上的各结点的值也为零，为此形函数一定包含了该直线方程的因子，将需要等于零的各个因子乗起来即得到该单元的行函数。

3.3 下列平面单元的位移具有连续性吗？（1）平面三角形二次单元；

连续

（2）平面三角形三次单元；

连续

（3）8结点矩形单元；

连续

（4）8结点任意四边形单元。

连续

3.4

下列单元满足收敛的充分必要条件∑Ni=1吗？（1）平面三角形三次单元；

满足

（2）变结点单元；

满足

（3）长方体20结点单元。

满足

3.5

对于非协调的薄板单元如何进行分片检验？

答：当赋予单元片各个结点以与常应变状态相应的位移值和载

ee(KaPi)0是否满足，如能满足则认为通过分荷值时，校验ijje1m片检验。3.6 在平面壳单元中如何判别共面点？可用什么方法进行处理？

答：（1）在平面壳体单元中，如果某一点的各个单元面法向不同，经局部坐标转化到整体坐标后，该点的总体位移有6 个，若方向相同，常称此点为共面点。

（2）处理方法有两种：

i、在局部坐标系内建立结点平衡方程，并删去zi方向的平衡方程，于是剩下的方程满足唯一解的条件。

ii、在此结点上，给一任意的的刚度系数kz，这时在局部坐标系中，此结点在zi方向的平衡方程

kzzi0

经变换后，总体坐标中的系统方程满足唯一条件，它不影响单元应力。

习题

3.1 试利用面积坐标构造10结点三角形单元（图3.22）的9、10结点的插值函数。解：利用划线法可得：N99L1L3(L1)

3L1(9)2

L3(9)

1N91

332221即

19()

333927

22719L1L3(L1)L1L3(3L11)

所以

N923N1010L1L2L3

L1(10)L2(10)L3(10)所以

N1027L1L2L3 3.2

1

1027 3利用构造变结点数单元插值函数的方法，构造图3.22所示三次三角形单元的插值函数，并和式（3.5）的结果进行比较。

解：由划线法可得

9N4L1L2(3L11)29N5L1L2(3L21)29N6L2L3(3L21)29N7L2L3(3L31)2 9N8L1L3(3L31)29N9L1L3(3L11)2N1027L1L2L3设N1为原三结点三角形的形函数，即N1L1

N45N58N89N910N10 N1N1N1(4)0

N41 其余点在4结点的形函数均为0，L1(4)2 322 1

4所以

0433 N1(5)1LN10，5，其余点在5结点的形函数均为0，1(5)

311053

153N81，其余结点在8点的形函数为0，L1(8)

N1(8)0，

8311 3

N1(9)0，N91，其余点在9结点的形函数均为0，L1(9)2 3

921

3同理 103111010 L1(10)103

N1(10)21121故

N1L1N4N5N8N9N10

33333以此类推

12121N2L2N4N5N7N6N1033333

21211N3L3N7N6N8N9N1033333经与式（3.5）比较，所得结果相同。3.3 利用构造变结点数单元插值函数的方法，构造图3.23中8、9结点单元的插值函数。

解：原8结点标准母单元的形函数为：

1N88(1)(1)(1)(12)(1)812

N99(1)(1)(1)(1)(12)(12)

修正N8

N9

N8N8a9N8(9)01N8(9)2

N9111092 192 所以

1112N8N8N9(1)(1)(12)(12)2221(12)(1)2 N9(12)(12)

图3.22

习题3.1.3.2图

图3.23 习题3.3图

3.4利用构造变节点单元插值函数的方法、构造图3.16（b）所示五面体单元的插值函数，并验证它们是否符合插值函数的性质。解：利用划线法可求得以下各量：

矩形边内结点：

N7L1(1)(1)

N8L2(1)(1)N9L3(1)(1)

图（3.16）上三角形边内结点：

N102L1L2(1)

N112L2L3(1)N122L3L1(1)下三角形边内结点：

N132L1L2(1)

N142L2L3(1)N152L3L1(1)N1为没有7、8、9三点的1结点形函数

1N1L1(2L11)(1)2

N1N17N7

N1(7)0

N7(7)1

L1(7)1

11117102

172所以

N1同理可求得

11L1(2L11)(1)L1(12)22N2N3N4N5N6经验证 3.4

11L2(2L21)(1)L2(12)2211L3(2L11)(1)L3(12)2211L1(2L11)(1)L1(12)22 11L1(2L11)(1)L1(12)2211L1(2L11)(1)L1(12)22Ni115i1满足插值函数的性质。

试分析六结点三角形单元的协调性。

解：如下图所示，6结点三角形单元的位移插值函数为：

u12x3y4x5xy6y22

设公共边i2j的直线方程为：

y=Ax+B 代入上式

得：

u12x3x2



由于1，2，3可由边界公共点i2j的位移

3.5 ui，u2，uj完全确定，所以在边界上是协调的。

如果三角形板单元的位移函数是

u12x3y4x25xy6y27x38x2yxy29y3验证当单元的两边分别平行于坐标轴且长度相等时，决定参数β1，β2，……β9的代数方程组的系数矩阵是奇异的。证明：

12x13y1x5x1y1yx8xyxyy24126***9112x23y24x225x2y26y227x238x22y2x2y229y2312x33y34x325x3y36y327x338x32y3x3y329y33因为u，v与1,2,...,9无关，故可写出1,2,...,9的系数矩阵方程为：

w11x1u100v100w21x2u200v002w31x3u300v300y100y200y300x12002x2x1y100x2y200x3y300y12002y2x13003x2(x12y1x1y12)0022(x2y2x2y2)002x3002y3003x30022(x3y3x3y3)00000000y13102033y240506 3y370809显然决定参数β2，……β9的代数方程组的系数矩阵是奇异的。3.6 利用单元位移函数的完全性确定式（3.21）的常数C的数值（提示：常应变项可表示为1L1L22L2L33L3L1）。3.7 图3.24所示圆柱面，用三角形平板薄壳单元剖分，是判断共面点与非共面点。

图3.24 用三角形平板薄壳单元剖分的圆柱面