数学解题方法谈：复数与平行四边形家族_初中数学解题方法谈

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复数与平行四边形家族

菱形、矩形等特殊的平面四边图形与某些复数式之间存在某种联系，复数的几何意义架起了“形”与“数”相互转化的桥梁．下面略举几例，以供参考． 友情提示：若复数za

bi，则z

一、复数式与矩形

例1 复数z1，z2满足z1z20z1z2z1z2，证明：证明：设复数z1，z2在复平面上对应的点为Z1，Z2，由z1z2z1z

2z1z2

称为z的模，它在复数中有广泛的应用．

z

122

z2

0．



知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形为矩形，OZ1⊥OZ2，可设

z1z

2ki(kR，k0)，所以

kik0．

222

例2 已知复数z1，z2满足z11z21，且z1z24，求

z1z2

与z1z2的值．

解：设复数z1，z2在复平面上对应的点为Z1，Z2，由

于z1

1)71)4故，z2

z12，2



故以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是矩形，z

从而OZ1⊥

OZ2，则1

z2

143i；z1z2z1z24．



例3 已知复数z1，z2满足z1z2

1，且z1z2

z1z2

证明：设复数z1，z2在复平面上对应的点为Z1，Z2，由条件知z1z21



以OZ1，2，OZ2

为邻边的平行四边形为正方形，而z1z2在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所

以

z1z2

点评：复数与向量的对应关系赋予了复数的几何意义．复数加法几何意义的运用是本题考查的重点．

二、复数式与菱形

例4

已知z1，z2Cz1z21z1z2

z1z2．



解：设复数z1，z2，z1z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，Z，由z1z21知，以OZ1，OZ2为

邻边的平行四边形是菱形，在△OZ1Z中，由余弦定理，得

z1

cosOZ1Z

z

2z1z

2z1z2







12，OZ1Z120，Z1OZ260，因此，△OZ1Z2是正三角形．

z1z2



Z1Z21．

点评：本题通过复数模的几何意义的应用来判断四边形的形状，并且应用到了余弦定理，使得问题解决的很巧妙，其中例1～例4均可用z1z2例5 求使

zaza

222

z1z2

2(z1

z2)处理．

(a0)为纯虚数的充要条件．

解：∵

zaza

是纯虚数，∴可设

zaza

222

i(R，0)，将其改写为

z1z2z1z2

i(R，0)．



设复数z，a在复平面上对应的点为Z1，Z2，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形，∴za，za，考虑到za时，zaza

222

0；

zaiza

222

za

无意义，故使

zaza

222

且za，za(a0)为纯虚数的充要条件是za，i，即z是模为a的虚数（非纯虚数）．

点评：复数的加减法符合平行四边形法则，是复数与平行四边形家族联姻的前提．深入抓住复数加减法的几何意义的本质，可使我们求解复数问题的思路更加广阔，方法也更加灵活．