复数知识点梳理与应用举例_复数知识点及例题

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复数知识点梳理与应用举例

【知识点归纳】

1、复数集

整 数有 理 数实数(b0)分 数复数abi(a,bR)小数)无理数(无限不循环

 虚 数(a0)虚 数(b0)纯非 纯 虚 数(a0)

应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数

2、复数的四则运算

若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（1）加法：z1+z2=（a1+a2）+（b1+b2）i；

（2）减法：z1－z2=（a1－a2）+（b1－b2）i；

（3）乘法：z1·z2=（a1a2－b1b2）+（a1b2+a2b1）i；

（4）除法：z1(a1a2b1b2)(a2b1a1b2)i； 22z2a2b

2（5）四则运算的交换率、结合率、分配率都适合于复数的情况。

（6）特殊复数的运算：

① i（n为整数）的周期性运算；②（1±i）2=±2i；

③ 若ω=－n13+i，则ω3=1，1+ω+ω2=0.223、共轭复数与复数的模

（1）若z=a+bi，则abi，z为实数，z为纯虚数（b≠0）.（2）复数z=a+bi的模，|a

且z|z|2=a2+b2.注：复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。

4、复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。

【学法指导】

1、在运用复数的基本概念解题时，应掌握以下几个环节内容：

（1）理解复数的分类；

（2）两复数相等的充要条件是它们的实、虚部分别相等；

（3）实数的共轭复数是其本身；

（4）注意把复数问题实数化。

2、应熟练掌握复数的代数形式以及利用代数式的运算法则进行四则运算；在运算过程中记住一些常见性质及结论，简化运算。

【典型例题】

2m23m2例

1、当m为何实数时，复数z＝+（m2+3m－10）i； 2m2

5（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．

解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．

m23m100（1）z为实数，则虚部m+3m－10=0，即，2m250

2解得m=2，∴ m=2时，z为实数。

m23m100（2）z为虚数，则虚部m+3m－10≠0，即，2m2502

解得m≠2且m≠±5.当m≠2且m≠±5时，z为虚数．

2m23m20（3）m23m100，2m250

11解得m=－, ∴当m=－时，z为纯虚数． 22

诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时必须具备的相应条件，还应特别注

意分母不为零这一要求．

例

2、（1）使不等式m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10成立的实数m＝.解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．

∵ m2－（m2－3m）i＜（m2－4m＋3）i＋10, 且虚数不能比较大小，m210|m|10,解得m0或m3,m3.∴m23m0

2m3或m1m4m30

当m＝3时，原不等式成立．

注：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。

（2）已知z=x＋yi（x，y∈R），且 2xyilog2x8(1log2y)i，求z．

解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．

2xy80xy3∵ 2ilog2x8(1log2y)i，∴，∴，xy2log2x1log2y

x2x1解得或, ∴ z＝2＋i或z＝1＋2i． y1y2xy

注：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键点，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）。例

3、若复数z满足z=1ti（t∈R），求z的对应点Z的轨迹方程． 1ti

解：此题主要考查复数的四则运算，点的轨迹方程的求法等．

1ti(1ti)21t22t设z＝x＋yi，（x, y∈R），∵ z==i，1ti(1ti)(1ti)1t21t

21t2

x21t∴ ，消去参数 t，得x2＋y2= 1，且x≠－1．

y2t

1t2

∴ 所求z的轨迹方程为x2＋y2＝1（x≠－1）．

诠释：解此题应抓住复数相等的充要条件，从而得到参数方程，消去参数，或者利用模的定义和性质，求出|z|即可．

【模拟试题】

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1、设条件甲：x=0，条件乙：x＋yi（x，y∈R）是纯虚数，则（）

A、甲是乙的充分非必要条件B、甲是乙的必要非充分条件

C、甲是乙的充分必要条件D、甲是乙的既不充分，又不必要条件

2、已知关于x的方程x2－（2i－1）x＋3m－i＝0有实根，则实数m应取的值是（）

111B、m≤－C、m= 441

22i

3等于（）12iA、m≥－ D、m=－1 1

2A、0B、1C、－1D、i4、设f（z）＝|1+z|－，若f（－）＝10－3i，则z等于（）

A、5＋3iB、5－3iC、－5＋3iD、－5－3i5、方程x2＋（k+2i）x＋2＋ki＝0至少有一实根的条件是（）

A、－22≤k≤22B、k≤－22或k≥2

2C、k=±22D、k≠226、若2＋3i是方程x2+mx+n＝0的一个根，则实数m，n的值为（）

A、m＝4，n=－3B、m=－4，n＝1

3C、m＝4，n=－21D、m=－4，n＝－

5二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

7、已知下列命题：

（1）在复平面中，x轴是实轴，y轴是虚轴；

（2）任何两个复数不能比较大小；

（3）任何数的偶次幂都是非负数；

（4）若 t＋si=3－4i，则 t=

3、s=－4．

其中真命题为．

1||=－1＋2i，则z29、设z∈C，|z|=1，则|z+3+i|的最大值为

8、若复数z满足z+

三、解答题（本大题共4题，共50分）

10、设z是纯虚数，求复数z对应的点的轨迹方程． z

111、已知复数z满足|z|＝5，且（3+ 4i）z是纯虚数，求z．

试题答案

1、B7、（1）

8、－

2、C3、A4、B5、C6、B 8+2i39、310、解：此题主要考查复数的有关概念及性质，四则运算和点的轨迹方程的求法．

zzzz0, 是纯虚数，∴()0，即z11z1z1z

12zz0，∴∴2z+z+=0，（z≠0，z≠－1），(1)(z1)∵

设z=x＋yi，（x，y∈R），2（x2＋y2）＋2x＝0（y≠0）

∴（x＋1221）＋y＝（y≠0）即为复数z对应的点的轨迹方程． 2

4诠释：解此题应抓住虚数的定义和共轭复数的性质，利用运算法则进行求解。

11、解：此题主要考查复数的有关概念，复数的运算，模的定义及计算．

设 z＝x＋yi（x, y∈R）,∵|z|＝5，∴x2＋y2＝25,又（3＋4i）z=（3＋4i）（x＋yi）＝（3x－4y）+（4x＋3y）i是纯虚数，∴ x4x43x4y0或，联立三个关系式解得，y3y34x3y0

∴ z=4＋3i或z＝－4－3i．