北邮通信网第二章信源模型和MM1排队系统习题答案（定稿）_北邮现代通信网答案

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第二章 通信信源模型和M/M/1排队系统－习题答案

2-1 验证性质2-4，并且说明性质2-1和性质2-4一致。

解：两个独立的Poion过程，参数为 1和2。根据定理2－2，两个Poion过程的到达间隔为参数1和2的负指数分布T1,T2。下面说明混合流的到达间隔，设参数1的Poion流为红球，参数为2的Poion流为黑球。

不妨设这个时刻到达为黑球，则下一个黑球的到达间隔为T2，而下一个红球到达间隔为T1的残余分布，由于间隔服从负指数分布，故此残余分布于原始分布一致。所以，混合流的到达间隔服从min(T1,T2),也就是参数为12的负指数分布。

T1的原始分布T1的残余分布T2性质2－4的验证

（1）Tmin(T1,T2)是一个以12为参数的负指数分布

PTtPminT1,T2tPT1t,T2tPT1tPT2te1te2te12t（3）PT1T2|Tt

112

PT1T2|Ttlimlim

PtT1tt,T2tt0PtT1tt1e1t limt01e12tt0e12te12tt1tt1te2tee1122-2 验证M/M/1的状态变化为一个生灭过程。

解：M/M/1排队系统在有顾客到达时，在时间t,tt内从状态k转移到k+1（k>=0）的概率为tot，为状态k的出生率；

当有顾客服务完毕离去时，在时间t,tt内从状态k转移到k-1（k>=1）的概率为tot，为状态k的死亡率；

在时间t,tt内系统发生跳转的概率为ot；

在时间t,tt内系统停留在状态k的概率为1tot； 故M/M/1排队系统的状态变化为生灭过程。

2-3 对于一个概率分布pk，令gXp0p1xp2x...pkxk 称为分布

2k0pk的母函数。利用母函数求M/M/1队长的均值和方差。

解：对于M/M/1

pkk(1)

k0

g(z)(1)(1)z...(1)E[k]g'(z)/z1211z 1k1Var[k]kpk[kpk]2g''(z)/z1E[k](E[k])2k121

2-4 两个随机变量X,Y取非负整数值，并且相互独立，令Z=X+Y，证明：Z的母函数为X,Y母函数之积。根据这个性质重新证明性质2-1。

证：设X的分布为：p0,p1,p2...，Y的分布为：q0,q1,q2...由于

pZkpXYkpXr,YkrpXrpYkrprqkrr0r0r0kkk

p0p1xp2x2...q0q1xq2x2...p0q0p0q1p1q0x...p0qkp1qk1...pkq0xk...

所以 g(Z)=g(X)g(Y)

对于两个独立的Poion流，取任意一个固定的间隔T，根据Poion过程性质，到达k个呼叫的概率分别为：

(iT)kiTpk(T)e

i=1,2 这两个分布独立

k!分布列的母函数分别为：

(iT)kkiTiTxiTiT(x1)p(T)xxeeeekk!k0k0k他们母函数之积为合并流分布列的母函数，而母函数之积e所以

合并流为参数12的 Poion过程。

1T(x1)2T(x1)ee(12)T(x1)

2-5 如果一个连续分布满足无记忆特性，证明它就是负指数分布。

无记忆特性：对于t,s0，有Pxts|xtPxs 证明：

Pxts|xtPxsPxtsPxsPxtPxtsPxsPxt ftsftfsftcett代入初始值f01，则c1，故Pxte

2-7 求k+1阶爱尔兰（Erlang）分布Ek1的概率密度。

(x)kxe

x>=0 可以根据归纳法验证，Ek1的概率密度为

k!证明：

利用两个随机变量的和的概率密度表达式：求ZXY的分布，当X和Y相互独立时，且边缘密度函数分别为fXx和fYy，则fZzfXxfYzxdx。

k1阶Erlang分布是指k1个彼此独立的参数为的负指数分布的和。

用归纳法。

2x当k1时，需证2阶Erlang分布的概率密度为xe f1tetxetxdx2etdxt2et

t(t)kte 令nk时成立，即fktk!则当nk1时，(x)kxtxfk1tfkxftxdxeedxk!k2k1t(t)etxkdxetk!k1!tt得证