探究动点轨迹问题_动点轨迹问题专题讲解

探究动点轨迹问题由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“动点轨迹问题专题讲解”。

探究动点轨迹问题（2）

福州时代中学戴炜

一、实验内容 探究圆锥曲线中两直线交点的轨迹问题

掌握利用超级画板进行动态探究的常用方法

二、设计理念

本讲意在通过具体任务，驱动学生进行主动探究，发现规律性质，并能总结出一般结论。最后能体会利用超级画板探究动态几何问题的一般方法，并将其应用到更加广泛的探究过程中去。

三、实验过程

1.探究问题（轨迹为定点型）x2

y21，过椭圆的右焦点F作与x轴不垂直的直线L，交椭圆于已知椭圆方程为5

A、B两点，C是点A关于x轴的对称点，试用超级画板探究直线BC与x轴的交点N的轨迹。

探究过程

（1）求出椭圆的右焦点2,0

x2

y21和过点2,0的直线xmy2，用画笔标出交点A、B（2）作出椭圆：5

（3）作出点A关于x轴的对称点C，作直线BC，找出其与x轴的交点N

（4）拖动关于m的滑动块，观察点N的轨迹

（5）猜测点N的坐标，你能用数学方法加以说明吗？

探究结果

直线BC与x轴的交点N是定点，定点的坐标为5,0 2

x2y2

拓展探究：若椭圆的方程为221，试用超级画板探究N点的轨迹是否仍是定点。ab

2.探究问题（轨迹为圆锥曲线型）

x2

y21，点A、B是椭圆长轴的两个端点，直线（1）已知椭圆C的方程为4

xm(2m2)与椭圆C交于P,Q两点，且AP和BQ交于S点，试用超级画板探究，当m变化时S的轨迹，并求出该轨迹方程。

x2x2y22

y1改为椭圆221，点A、B是椭圆长轴的两个端（2）若将椭圆C：4ab

点，直线xmaxa与椭圆C交于P,Q两点，且AP和BQ交于S点，试求S的轨迹方程。

x2y2x2y2

（3）若将椭圆C：221改为双曲线221，点A、B是双曲线实轴的两

abab

个端点，直线xm与双曲线C交于P,Q两点，且AP和BQ交于S点，试求S的轨迹方程。

探究过程

x2

y21和点A（-2,0）（1）作出椭圆：，点B（2,0）4

（2）作出直线xm，用画笔标出交点P、Q（3）作直线AP、BQ，用画笔标出交点S（4）拖动关于m的滑动块，观察点S的轨迹（5）你能求出S的轨迹方程吗？

x2y2x2y2

（6）用类似的方法探究椭圆方程为221和双曲线方程为221时S的轨

abab

迹。

探究结果

x2

y21（1）S的轨迹为双曲线，方程为4x2y2

（2）S的轨迹为双曲线，方程为221

ab

x2y2

（3）S的轨迹为椭圆，方程为221

ab

互动交流：结合“交轨法”求轨迹方程做相应讨论和总结。

x2y2x2y2

以问题（3）为例，若将椭圆C：221改为双曲线221，点A、B是双

abab

曲线实轴的两个端点，直线xm与双曲线C交于P,Q两点，且AP和BQ交于S点，试求S的轨迹方程。

解析过程：设P点的坐标为x1,y1，则Q点的坐标为x1,y1.又有Aa,0,Ba,0 则直线AP的方程为y

y1

xa① x1a

y1

xa② x1a

直线BQ的方程为y

y1222

①×②得y2③ xa2

x1a

x12y12

又因点P在双曲线上，故221

abm222

即y2x1a

n

x2y2

代入③并整理得221,此即为点S的轨迹方程.ab

拓展探究：（1）若直线xm改为垂直于y轴的直线，最终的轨迹如何？

（2）若将问题架构在抛物线上，如抛物线y2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于R点，则R点的轨迹如何？

结果：轨迹方程为y2xx 3.探究问题（轨迹为直线型）

前面的探究问题中，直线的平移是生成点M轨迹的因素之一，若将直线的平移改为旋转，点S的轨迹如何？

x2

y21，已知曲线C的方程为曲线C与x轴的交点分别为A、B，设直线xmy14

与曲线C交于P,Q两点，且AP和BQ交于S点，试用超级画板探究，当m变化时，S的轨迹是不是恒在一条直线上？如果是，请求出该直线方程。

探究过程

x2

y21和直线xmy1，用画笔标出点A、B和交点P、Q，（1）作出曲线C：4

作直线AP、PQ，找出交点S，拖动关于m的滑动块，观察S的轨迹，判断S的轨迹是不是恒在一条直线上，并求出该直线方程。

x2y2

（2）插入变量尺a、b，作出椭圆221；控制椭圆的长短轴大小，观察轨迹变

ab

化；

（3）猜测影响轨迹位置与形状的因素，你能用数学方法加以说明吗？ 探究结果

（1）m改变时，S的轨迹为一条直线，直线方程为x4

x2y2

（2）插入变量尺，作出椭圆221，改变a的值，轨迹位置发生改变，改变b

ab的值，轨迹位置不变；

x2y22

（3）假设椭圆方程为221，则按上述方法做出的点S的轨迹为直线xa

ab

拓展探究

x2y2

（1）若曲线C由椭圆变为双曲线221，S的轨迹是不是仍在一条直线上？你

ab

能否求出该直线方程。

x2y2

（2）假设椭圆方程为221，前面的探究问题中，A、B点为曲线和x轴的交点，ab

现在若将A、B点改为x轴上的定点（-2，0）和（2，0），则点S的轨迹还是直线吗？请试用超级画板探究，判断S的轨迹为何种类型的曲线。

结果：当a2时，S的轨迹为一个椭圆

当1a2时，S的轨迹为一个双曲线