西安工业大学高数期末考试题及答案试题_高数期末考试题及答案

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高等数学（Ⅱ）期末参考答案

一、填空题（每小题3分，共36分）

11

1.limlim11xxxyxyyy

xxy

y

1lim1xxyy

xy

x

y

lim

1y

e0.1yycoscosFyyzxz.esin0xz2xz2.函数zz(x,y)由方程确定，则

xyFzxexe

3.设函数uln

x2y2z2，则它在点M0(1,1,1)处的方向导数的最大值为

.3

4.设函数f(x,y)2x2axxy22y在点(1,1)处取得极值，则常数a5.5.空间曲线

12)处的切线方程为 y22x,z21x在点(,1,22

x

z

y1.111



6.改变积分次序：I



dx

2xx20

f(x,y)dy

dy

11y2

11y2

f(x,y)dx.7.设平面曲线L为下半圆周yx2，则8.设为曲面z



L

(x2y2)ds1ds

L

1.2

x2y2在0z1的部分，则xdS 0.

ex,x0,则其以2为周期的傅里叶级数在x处收敛于 9.设f(x)

0x1,1

(1e).2

10.设y1,y2,y3是微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的三个不同的解，且数，则微分方程的通解为 C1(y1y2)C2(y2y3)y1.y1y2

常

y2y3



11.函数f(x)展开为x的幂级数的形式为n1xn

2xn02

x(2,2).12.微分方程y

yxex的通解为Cxxex.x

二、计算下列各题（每小题6分，共18分）

1.设zf(,e)，y(x)，其中f,均为一阶可微函数，求解：

yx

xy

dz.dx

dzyxyxy

f1fe(yxy)22

dxx

x(x)(x)xy

fe((x)x(x))f122

x

122

2.求曲面z4(xy)与平面z2所围立体的体积.解：所围立体在xoy面的投影域D:x2y24，所围立体的体积V

1212

[4(xy)]2dxdy2dxdy(x2y2)dxdy 22DDD

2122

22drrdr844

020

3.在曲面x22y23z266上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面

xyz1平行.解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为M(x,y,z)，令

F(x,y,z)x22y23z266，则切平面的法向量

n(Fx,Fy,Fz)M(2x,4y,6z), 已知平面xyz1的法向量

n1(1,1,1)依题意n//n1，即







2x4y6z令t111

代入曲面方程中解的x6,y3,z2，即切点坐标为M(6,3,2).三、计算下列各题（每小题6分，共18分）1.设是由锥面z

x2y2与半球面zx2y2围成的空间区域，是的整个

边界的外侧，求曲面积分

xdydzydzdxzdxdy.

解：已知P(x,y,z)x，Q(x,y,z)y，R(x,y,z)z，由高斯公式有

xdydzydzdxzdxdy（



PQR)dv xyz

3dv3d4dr2sindr



2



32(1

2.写出级数

21)(22) 23

1357

234的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和.2222

2n1

解：该数项级数的通项为un；级数为正项级数，由于 n

lim

un112n11

lim，nun22n12n

由比值审敛法知该级数收敛.令

s(x)(2n1)x2xnx

n

n1

n1



n1

xn2xs1(x)s2(x)x(1,1)，n1



则



于是

x

s1(t)dtnt

n

1

x

n1

dtxn

n1



x，1x

dx1s1(x)，s(t)dt

01(1x)2dx

又

s2(x)xn

n1



x，1x

所以

2xxxx2

s(x)2

1x(1x)(1x)2

于是

x(1,1)，

11xx2

s()(2n1)n3.222n1(1x)x1

3.求微分方程y3y2y2ex的通解.解：微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程r3r20的特征根为

r11,r22，f(x)2ex的1为特征方程的单根，则原方程的特解为y*Axex，代入原方程中得A2,齐次线性微分方程的通解为YC1exC2e2x,所以原方程的通解为

yYy*C1exC2e2x2xex.四、计算下列各题（每小题6分，共18分）1.求函数f(x,y)4(xy)x2y2的极值.fx(x,y)0x2,得驻点解：由于fx(x,y)42x，fy(x,y)42y，令,f(x,y)0y2y

又 Afxx(x,y)2，及(BAC)(2,2)4，Bfxy(x,y)0，Cfyy(x,y)2，则点(2,2)位极大值点，极大值为

f(2,2)4[2(2)]22(2)28.(x1)n

2.求幂级数的收敛半径及收敛域.n

n2n1





(x1)n1n

解：令 tx1，则 t，由于 nn

n2n2n1n1



an1n2n1，limlim

nan(n1)2n12n



1(1)n

则收敛半径R2.又当t2时，级数收敛，当t2时，级数发散，所以

nn1nn1



t[2,2)，即级数的收敛域为[1,3).x2z

3.设zsin(xy)(x,)，其中(u,v)具有二阶偏导数，求.yxy

解：

zx1x

(x,)2(x,)，ycos(xy)1

xyyy

2zxx1x1xx

(x,)(2)22(x,)22(x,)(2)cos(xy)xysin(xy)12

xyyyyyyyy

y2

1}上的最

五、（本题5分）求函数f(x,y)xy2在椭圆域D{(x,y)|x

4大值和最小值.解：由于fx(x,y)2x，fy(x,y)2y，令在D的边界上，设

fx(x,y)0,在D内求得驻点(0,0).fy(x,y)0

y2

F(x,y,)xy2(x1)，得



Fx(x,y,)2x2x0(1)1

Fy(x,y,)2yy0(2)

22

F(x,y,)x2y10(3)4

当x0，由（1）得1，代入（2）得y0，在代入（3）得

x1

；同理当y0

y0

x0得；由于

y2

f(0,0)2，f(1,0)3，f(0,2)2，所以最大值为3，最小值为2.六、（本题5分）设在上半平面D{(x,y)|y0}内，函数f(x,y)具有连续偏导数，且

2

对任意的t0都有f(tx,ty)tf(x,y)，证明对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线

L，都有yf(x,y)dxxf(x,y)dy0.L

解：由格林公式，对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，yf(x,y)dxxf(x,y)dy

[f(x,y)xf(x,y)f(x,y)yf

L

x

D1D1

y(x,y)]dxdy

.[2f(x,y)xfx(x,y)yfy(x,y)]dxdy（*）

由于函数f(x,y)具有连续偏导数，且对任意的t0都有f(tx,ty)t2f(x,y)，即

t2f(x,y)f(tx,ty)

上式两端对t求导有

2tf(x,y)xf1(tx,ty)yf2(tx,ty)特取t1得

2f(x,y)xfx(x,y)yfy(x,y)由（*）式既有



L

yf(x,y)dxxf(x,y)dy0