1、函数、极限、连续压缩打印版_1函数的极限和连续

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函数、极限、连续

典型例题

题型一复合函数

2x2,|x|10,x0例

1、设f(x), g(x)，试求f[g(x)],g[f(x)].1,x0|x|2,|x|1

例

2、已知f(x1)的定义域为[0,1],，求f(2x3)的定义域.1例

3、设f(x)和g(x)互为反函数，则f[g(3x)]的反函数为(B)

211x1(A)g[f(3x)](B)f[2g(x)](C)g[2f()](D)2g[f(x)] 233

3111解：yf[g(3x)]，则g(3x)g(y)，即g(3x)2g(y)，于是3xf(2g(y))，即xf(2g(y))223

11故yf[g(3x)]的反函数为yf[g(3x)].22

题型二函数性态

例

1、定义于R上的下列函数为奇函数的是(C)

exexx2011tanx21(C)lnx(A)[x](B)(x1)(D)cosx2011

2例

2、当x时，变量xcosx是(D)（注意函数的局部性质）

(A)无穷小(B)无穷大(C)有界量(D)无界量

例

3、设limf(x)A，下列结论成立的是(C)xx0

(A)存在,当xU(x0,)时，f(x)A(B)则存在,当xU(x0,)时，f(x)A

(C)若A0,则存在,当xU(x0,)时，f(x)0

(D)若当xU(x0,)时,f(x)0,那么A0.

注1：若limf(x)A，则对0，存在,当xU(x0,)时，总有Af(x)A（局部有界）.xx0

注2：若limf(x)A，当xU(x0,)时,f(x)0,那么A0（局部保号）.xx0

x1在下列区间中有界的是(A)2x

1(A)(,1)(B)(,1)(C)(1,)(D)(1,)

注：若f(x)在(a,b)内连续，且f(a)A,f(b)B,则f(x)在(a,b)内有界.0题型三 未定式计算（限于，0，1，另三种，0,00以后讲）0

例

1、求极限：

(2x1)4(x1)65x(x8x)（1）lim；（2）

；（3）； 10x0xx(x2)cot3x2xcsc2xlim(arctanx)lim(cosx)（4）limx2(xx)；（5）lim；（6）；（7）xxx0xcot5x0注：等价无穷小代换可在,0中对较复杂的“0”进行等价代换，一般只能用在乘、除关系，因局部等价能保证0例

4、y

整体也等价，而不能直接用于加、减关系，一种处理为和差化积，一种处理为各分项同除最低次等价项后看能否拆开 注：limu(x)

v(x)1elimv(x)lnu(x)lnu(x)u(x)1limv(x)[u(x)1]ea.题型四 极限存在题型

例

1、判断下列极限存在吗？

arctanxx

1(a1)lime；；（3）（4）lim

xax1x1x1xx0tan3x11x22n

2;（7）lim（5）（6）lim 

6662n1x2nx0nn2nnnnn

1n(n1)(2n1)122n2n(n1)(2n1)

提示：（6）因，则原式 

36n6n2n6nn62nn6n26n6n

（1）x)；（2）lim

x1

sinx2x4sin

1x,x1

1x

（7）lim1,x1

n1x2n

0,x1

注1： x时，xx，ax，arctanx，arccotx的极限不存在，先研究x,x

x时，sinx，cosx的极限不存在，只需注意其为有界量，arctanx，arccotx也可考虑有界量性质 注2：一个收敛数列与另一个发散数列之和必发散，对函数有类似结论 注3：注意分段函数在分段点处的极限一般用左右极限来处理

注4：当有限和难以表达时，对无限个无穷小求和可以考虑使用夹逼准则

注5：极限函数f(x)limF(x,n)的求法，要注意对x取值范围的讨论，如xn,anx,arctannx等.n

nnam,其中ai0(i1,2,,m)。例

2、求lima1na

2n

nn

ammana 提示：令maxaia，则aana1na2

1im

limm1，则原式=amaxai（本题的结论是一个常用结论）.n

1im

例

3、设xnznyn，且lim(ynxn)0,则limzn（C）

n

n

(A)存在且等于零(B)存在但不一定等于零(C)不一定存在(D)一定不存在提示：若limxnlimyna0，由夹逼定理可得limzna0，故不选A与D.n

n

n

取xn(1)n,yn(1)n,zn(1)n，则xnznyn，且lim(ynxn)0，但limzn 不存在，B选项不正确．

n

n

例

4、设函数f(x)在(,)内单调有界，xn为数列，下列命题正确的是（B）

(A)若xn收敛，则f(xn)收敛(B)若xn单调，则f(xn)收敛(C)若f(xn)收敛，则xn收敛(D)若f(xn)单调，则xn收敛

n1n

提示：由于f(x)单调有界，则当xn单调时，数列f(xn)单调有界，从而f(xn) 收敛，故选（B）

例

5、设0x13,xn1xn(3xn)(n1,2,)，证明：数列{xn}极限存在并求此极限.证：由0x13，xn1xn(3xn)知，0xn3，132

2从而有xn1]，则xn上有界，22

xn(3xn)xnxn(32xn)

而xn1xnxn(3xn)xn=0，则xn单调增，xn(3xn)xnxn(3xn)xn

11知xn递增 由单调有界准则，知limxn存在，不妨设 limxna

或者由

n

n

xn

1xn

31xn

33或a0（舍去），则 limxn.n22

注：对数列{xn}，若有递推表达式，则一般使用单调有界准则证明数列{xn}的收敛性.将xn1

xn(3xn)两端取极限得aa(3a)，由此解得a

题型五 极限应用题型（先讲无穷小比较、渐近线确定、间断点类型，以后再研究可导性判断）例

1、已知当x1时,(2x)x2与a(x1)b(x1)2是等价无穷小,求a,b的值.(x1)ln2xlnx(2x)x2ex(ln2lnx)ln2

1解： lim2lim, 2lim

x1(x1)(abxb)x1a(x1)b(x1)2x1a(x1)b(x1)

2xlnxln2

2(1ln2)1,则a2(1ln2),显然bR.2lim

x1abxba

x21

例

2、求曲线y的渐近线方程.x

1解：limyx1为其铅直渐近线

x1

又lim

x

y1x1,lim(yx)lim1  yx1为其斜渐近线.xxx1x

注：记忆各类渐近线的确定方法：

①若x(或x,或x)，yb，称yb为yf(x)一条水平渐近线，一个函数至多有两条不同的水

平渐近线；

②若xa(或xa,或xa)，y，称xa为yf(x)的一条铅直渐近线； ③若lim

xx()x

y

k0，lim[ykx]b，称ykxb为yf(x)的一条斜渐近线.xx

(x)x

例

3、试确定y

xtanx的间断点，并判断其类型.解：其间断点为xk,k



（kz）

y0xklim

xk

2xk



为其可去间断点；

又 limy，此时k0， xk（k0）为其第二类间断点

y1,limy1 x0为其跳跃间断点.而lim

x0

x0

x

1x0e1

例

4、ysin3x试确定该函数的渐近线，并判断其间断点类型。

x0

x

解：limy x1 为其铅直渐近线，且x1为其第二类间断点；

x

1x

limy1 y1为其水平渐近线；又limy0 y0为其水平渐近线；

x

而f(0)e,f(0)3，故x0为其第一类中的跳跃间断点.g(x)在xx0连续，例

5、求证：设f(x)在xx0间断，则f(x)g(x)在xx0间断。并举例说明f(x)g(x),f2(x),f(x)

在xx0可能连续.提示：设f(x)

0



1x0

g(x)sinx，g(x)在x0连续，f(x)g(x)f(x)sinx0在x0，则f(x)在x0间断，x0

x01

连续；若设f(x)，f(x)在x0间断，但f2(x)f(x)1在x0均连续.1x0

注：“f(x)在x0点连续”是“f(x)在x0点连续”的充分不必要条件.三、课后练习

1、f(x)x1，f[g(x)]x，则g(x)(x1)3．



cosx，0x4

5

2、当0x2时，max{sinx,cosx}sinx，x．

44

5

cosx，x24

32x，x2

23、min{32x,x2

2x}x2x，2x2



32x，x2

4、与f(x)sgnx相同的函数为(B)

(A)(sgnx)2(B)sgn(sgnx)(C)sgnx(D)sgn(x)

0,x0

0,x0,

5、已知H(x)则H(x)H(x1) 1,0x1．

1,x0,0,x

1

2x6、设g(x)

x

27、设f(x)e

arcsinx

x0x

2，f(x)x0x2x2，则g[f(x)]x02x

x0

x0

． x0，又f[g(x)]x1，则g(x)的定义域为[1e

n

n





,1e2]．

n

8、设an，bn，cn均为非负数列，且liman0，limbn1，limcn，则必有（D）(A)anbn对任意n成立(B)bncn对任意n成立(C)limancn不存在(D)limbncn不存在n

n

9、设xnayn,且lim(ynxn)0,则{xn}与{yn}(A)

n

(A)都收敛于a(B)都收敛，但不一定收敛于a(C)可能收敛，也可能发散(D)都发散

10、当x0时，1

1sin是(D)

xx

2n

(A)无穷小(B)无穷大(C)有界但非无穷小(D)无界但非无穷大

11、设数列xn与yn满足limxnyn0，则下列断言正确的是（D）(A)若xn发散，则yn必发散(B)若xn无界，则yn必有界(C)若xn有界，则yn必为无穷小(D)若

12、f(x)

为无穷小，则yn必为无穷小 xn

xsin(x2)

x(x1)(x2)

2(A)(1,0)(B)(0,1)(C)(1,2)(D)(2,3)

n

在下列哪个区间内有界（A）

13、当x0时，(1cosx)ln(1x)是比xsinx高阶的无穷小，而xsinx是比(ex1)高阶无穷小，则正整数n等于(B)

(A)1(B)2(C)3(D)414、对函数f(x)

n

212

11x

1x，点x0是（B）

(A)可去间断点(B)跳跃间断点(C)第二类间断点(D)连续点

15、设f(x)

x，则该函数图象具有（B）x

e

1(A)一条水平渐近线，一个可去间断点(B)一条水平渐近线，一个跳跃间断点(C)一条铅直渐近线，一个可去间断点(D)一条铅直渐近线，一个跳跃间断点

x

在(,)内连续，且limf(x)0，则（D）bxxae

(A)a0,b0(B)a0,b0(C)a0,b0(D)a0,b017、设f(x)和(x)在(,)内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)0，(x)有间断点，则（D）

(x)

(A)[f(x)]有间断点(B)[(x)]2有间断点(C)f[(x)]有间断点(D)有间断点

f(x)

16、设f(x)

18、求下列极限或判断极限的存在性：

axarctanxx3； lim(a1)（1）lim；（2）；（3）(/)(/)limxx)

xx0(1cosx)ln(x1x)2axx

x

3sinxx2cos

23lncosx21xx

ln（4）lim（5）；（6）2 ；； x0lncosxx0x0432xsinx3ln(1x4)n

1；（7）lim（8）limln(12)ln(1)3ln2；（9）lim8；

xxsinxnx0n1cos(1cosx)

n

111n22xexe2xenx12)x(nz)e2；（10）lim(12)e；（11）lim(sincos)e；（12）lim（nxx0nnxxn

1112cosxx1222

（13）lim3(（14）limx(aa)(a0)lna（15）lim(secx)xe；)1；

x0x0xx361

5xxx

（16）lim(n；（17）lim(123)3；（18）1；

xnn2sin2xe2ax1x0在(,)上连续，则a2．

19、若f(x)x

ax0

(n1)x20、设f(x)lim，则f(x)的间断点为x0．

nnx2

13(xn1)

21、x10，且xn1，证明limxn存在，并求limxnn

nxn

322、设0x13,xn1xn（n1,2,）证明limxn存在,并求limxn．

3n

n

23、若lim

ln2ln(1f(x)sin5x)

limf(x)1，则 ． x0x052x

1sin2x2enxcosx24、设 f(x)lim，则limf(x) 2．

x0nxenx

x2n1ax2bx25、设f(x)lim处处连续,求a,b的值.a0,b1 2nnx

1u

x1ux)，其中(x1)(u1)0，求f(x)的连续区间，并指出其间断点类型.26、设f(x)lim（uxu

1提示：f(x)e

xx1，f(x)的连续区间为(,1)(1,)，x1为第二类间断点.27、设f(x)在(,)上有定义，f(x)在x0处连续，且对一切实数x1,x2，有

f(x1x2)f(x1)f(x2),求证f(x)在(,)上处处连续.提示：对一切实数x,求证lim[f(xh)f(x)]0.h0