高数总复习题一_高数复习题一

2020-02-28 其他范文下载本文

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1总习题一

1.在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内:

(1)数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件.数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件.(2)f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limf(x)存在的________条件.xx0

xx0limf(x)存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有界的________条件.xx0(3)f(x)在x0的某一去心邻域内无界是limf(x)的________条件.xx0limf(x)是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的________条件.

xx0(4)f(x)当xx0时的右极限f(x0)及左极限f(x0)都存在且相等是limf(x)存

在的________条件.解(1)必要, 充分.(2)必要, 充分.(3)必要, 充分.

(4)充分必要.2.选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:

设f(x)2x3x2.则当x0时, 有().(A)f(x)与x是等价无穷小;(B)f(x)与x同阶但非等价无穷小;

(C)f(x)是比x高阶的无穷小;(D)f(x)是比x低阶的无穷小.xxxxf(x)232213limlimlim1解因为limx0x0x0x0xxxx

tln3limuln2ln3ln2lim(令2x1t, 3x1u) t0ln(1t)u0ln(1u)

所以f(x)与x同阶但非等价无穷小.故应选B.3.设f(x)的定义域是[0, 1], 求下列函数的定义域:

(1)f(ex);

(2)f(ln x);

(3)f(arctan x);

(4)f(cos x).解(1)由0ex1得x0, 即函数f(ex)的定义域为(, 0].(2)由0 ln x1得1xe , 即函数f(ln x)的定义域为[1, e].(3)由0 arctan x 1得0xtan 1, 即函数f(arctan x)的定义域为[0, tan 1].(4)由0 cos x1得2nx2n(n0, 1, 2, ),22

即函数f(cos x)的定义域为[2n,n],(n0, 1, 2, ).22

4.设

x00x 00

f(x), g(x)2,xx 0xx0

求f[f(x)], g[g(x)], f[g(x)], g[f(x)].0x0解因为f(x)0, 所以f[f(x)]f(x)xx0;



因为g(x)0, 所以g[g(x)]0;因为g(x)0, 所以f[g(x)]0;

x00

因为f(x)0, 所以g[f(x)]f 2(x)2.xx0

5.利用ysin x的图形作出下列函数的图形: 

(1)y|sin x|;(2)ysin|x|;(3)y2sinx.6.把半径为R的一圆形铁片, 自中心处剪去中心角为的一扇形后围成一无底圆锥.试将这圆锥的体积表为的函数.

解设围成的圆锥的底半径为r, 高为h, 依题意有

R(2)

R(2)2r , r

22R2(2)2RhRrR.242

圆锥的体积为

R2(2)2142 RV

3242

3R(2)2a2(02).224

2x7.根据函数极限的定义证明limx65.x3x3

2x证明对于任意给定的0, 要使|x65|, 只需|x3|, 取, 当x3

0|x3|时, 就有|x3|, 即|xx65|, 所以limxx65.x3x3x3

8.求下列极限: 

1;(1)limxx

x1(x1)2

(2)limx(x21x);

x

(3)lim(2x3x1;

x2x1

sinx;(4)limtanx3x0xxxx1abc(5)lim)(a0, b0, c0);x03

(6)lim(sinx)tanx.x

2(x1)2x1.0, 所以limx解(1)因为lim2

2x1xx1x1(x1)

x(x21xx21x)

(2)limx(x1x)lim 2xx(x1x)

lim

x

x11.lim

x21xx112

2x11

2x322x1x1

(3)lim)lim(1lim(1)22

x2x1xx2x12x1

2x12x111

lim(12(12)lim(12)lim(12)e.xxx2x12x12x12x1

sinx(11)sinx(1cosx)sinxlimlim(4)limtanx

x0x0x0x3x3x3cosx

sinx2sin2x2x(x2

lim1(提示: 用等价无穷小换).lim33x0x0xcosxx2

xxx1xxx

abcabc3axbxcx3lim(1(5)lim(x0x033xxx

abc3axbxcx3e,lim(1x03

axbxcx3

3x, 因为

xxxxxx

limabc31lim(a1b1c1

x03x3x0xxx

1[lnalim1lnblim1lnclim1]

t0ln(1t)u0ln(1u)v0ln13(v)

1(lnalnblnc)ln,3

xxx13

所以limabc)eln.x03

提示: 求极限过程中作了变换ax1t, bx1u, cx1v.(6)lim(sinx)

x2

tanx

lim[1(sinx1x21sixn1

1(sinx1)tanx

sinx1, 因为

lim[1(sinx1x

e,lim(sinx1)tanxlim

x

sinx(sixn1)

coxsx

sinx(sin2x1)xcoxs0,limlimsin)x1xcosx(sinx1xsin所以lim(sixn)taxne01.x2

xsin1x0

9.设f(x), 要使f(x)在(, )内连续, 应怎样选择数a ? x

axx0

解要使函数连续, 必须使函数在x0处连续.

10 2

f(x)lim(ax)a因为f(0)a, lim, limf(x)limxsinx0x0x0x0x

所以当a0时, f(x)在x0处连续.因此选取a0时, f(x)在(, )内连续.x1

x0, 求f(x)的间断点, 并说明间断点所属类形.10.设f(x)e

1x)1x0ln（解因为函数f(x)在x1处无定义, 所以x1是函数的一个间断点.1),0(提示lim

x1x1x1x1

1), x1

f(x)limelim(提示limx1x1x1x1

所以x1是函数的第二类间断点.f(x)lime因为lim

x1

f(x)limln(x1)0, limf(x)lime又因为lim

x0

x1

x0x0

1, e

所以x0也是函数的间断点, 且为第一类间断点.1    11.11.证明lim1222n12n

n11    1n证明因为2, 且 n21222n21nlim11, limnlim11,lim2

nnnn21n112

1    11.所以lim1222n1n2n

12.证明方程sin xx10在开区间(, 内至少有一个根.22

证明设f(x)sin xx1, 则函数f(x)在[ ,上连续.22

因为f( 11, f(112, f( )f 0,22222222

所以由零点定理, 在区间( ,)内至少存在一点, 使f()0.这说明方程sin

xx10在开区间( ,内至少有一个根.22

13.如果存在直线L: ykxb, 使得当x(或x, x)时, 曲线yf(x)上的动点M(x, y)到直线L的距离d(M, L)0, 则称L为曲线yf(x)的渐近线.当直线L的斜率k0时, 称L为斜渐近线.(1)证明: 直线L: ykxb为曲线yf(x)的渐近线的充分必要条件是k

x

(x,x)

lim

f(x), blim[f(x)kx].xx(x,x)

(2)求曲线y(2x1)e的斜渐近线.证明(1)仅就x的情况进行证明

按渐近线的定义 ykxb是曲线yf(x)的渐近线的充要条件是lim[f(x)(kxb)]0

x

必要性 设ykxb是曲线yf(x)的渐近线 则lim[f(x)(kxb)]0

x

于是有limxx

f(x)f(x)f(x)

kb]0limk0klim