湖南大学考研2000年高等代数真题_湖南大学考研真题

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湖南大学2000年高等代数真题

1． 设a为实数，试证：多项式xnaxn1a2xn2...an1xan至少

有一个实根（重根以一个计算）。问此多项式何时无实根？何时有重根？

a1

2． xx...xxa2x...x

xa3...x 计算行列式x

.........xxx...an

3． 设V1,V2,...,Vs是线性空间V的s个非平凡的子空间，证明：V中至少有一个

向量不属于V1,V2,...,Vs中任何一个。

4． 设AE,，其中E是n阶单位矩阵，是n维非零列向量，,是的2转置，试证明：（1）AA的充分必要条件是,1；

（2）当,1时，A是奇异矩阵。

5.令S是R上向量空间V的一些线性变换作成的集合，V的一个子空间W如果在S中每一线性变换下不变，那么就说W是S的一个不变子空间。设S不可约，而是V的一个线性变换，它与S中每一线性变换可换，试证明：或者是零变换，或者是可逆变换。

6.设fXAX，gXBX,是正定二次型，其中

A(aij)bij)cij)nn,B(nn，令cijaijbij，对于阵C(nn，是 XCX,也是正定的。

em为n维欧式空间V的一组便准正交基，证明：对于任意V，7.设e1,e2,...,以下不等式成立

i1(,e)im22。,8.设A是s*n实矩阵，In是n阶单位阵，n是任一正整数A是A的转置求证：

r(InAA,)r(IsAA,)ns，其中，r（A）为A的秩。