考研数学(北京大学)_北京大学考研数学

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高等代数与解析几何 2007回答下列问题

（1）是否存在n阶方阵A,B,满足AB-BA=E（单位矩阵）？又，是否存在n维线性空间上的线性变换A,B,满足AB-BA=E（恒等变换）?若是，举出例子；若否，给出证明.（2）n阶行列式A各行元素之和为常数c，则A3的各行元素之和是否为常数？若是，是多少？说明理由.（3）m*n矩阵秩为r.取r个线性无关的行向量，再取r个线性无关的列向量，组成的r阶子式是否一定为0？若是，给出证明；否，举出反例.（4）A,B都是m*n矩阵.线性方程组AX=0与BX=0同解，则A与B的列向量是否等价？行向量是否等价？若是，给出证明；否，举出反例.（5）把实数域R看成有理数域Q上的线性空间，bp3q2r.这里的p,q,r是互不相同的素数.判断向量组1,nb,b2,...,bn1是否线性相关？说明理由.矩阵A,B可交换.证明：r(A+B)r(A)+r(B)-r(AB).f为双线性函数，且对任意的,,都有f(,)f(,)f(,)f(,).求证f为对称的或反对称的.V是欧几里德空间，U是V的子空间.V.求证：是在U上的正交投影的充要条件为：U,都有||||.复矩阵A满足：k,tr(Ak)0.求A的特征值.n 维线性空间V上的线性变换A的最小多项式与特征多项式相同.求证V,使得，A，A2,...,An1为V的一个基.P是球内一定点，A，B，C是球面上三动点.APBBPCCPA/2.以PA，PB，PC为棱作平行六面体，记与P相对的顶点为Q，求Q点的轨迹.直线L的方程为：

A1xB1yC1zD10

A2xB2yC2zD20

问系数要满足什么条件，才能使得直线：

（1）过原点（2）平行于x轴，但不与x轴重合（3）与y轴相交（4）与z轴重合x2y2证明双曲抛物面 222z 的相互垂直的直母线的交点在双曲线上.ab

x2y2z2

1被点（2，-1，1）平分的弦.10 求椭球面25169