浙大98高代_浙江大学高物

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浙 江 大 学

一九九八年攻读硕士学位研究生入学考试试题

考试科目：高等代数编号：012

一．齐次线性方程组

x1x2x3x40

ax1bx2cx3dx40 a2xb2xc2xd2x0

1234

中a,b,c,d为4个参数。讨论a,b,c,d的各种不同取值时，方程组解空间的维数并写出相应的基础解系。

二．把二次型fx1,x2,x,x4x1x2x2x3x3x4x4x1用非退化线性替换化为平方和。

三．A,B分别为nm和mn矩阵，In表示nn单位矩阵。证明：mn级方阵

A

X

0

In

可逆当且仅当BA可逆。可逆时求出X的逆。B

四．设V是实数域R上的三维线性空间，R{(x,y,z)x,y,z为实数}是实数域上的3元

向量构成的线性空间，()1

(1,02,1),（是V

到R3的同构映射，且)3(2,，1,01属于),L((2,))吗？为什(3,2,1)问：3

么？这里L(2,3)表示2,3在V中生成的子空间。

五．设A是n维线性空间V的线性变换，求证：VAVA(0)（直和）当且仅当若

1,2,,r为AV的一组基则A1,A2,,Ar是A2V的一组基。

1

六．设A为2级实方阵，适合A

1000

A，求证：相似于

111

 0

七．设f(,)是n维线性空间V上对称双线性函数，K是V的一个真子空间，求证：（1）KK



{0}的充要条件为f(,)限制在K上为非退化。



（2）VKK（直和）的充要条件为f(,)限制在K上为非退化。