极限_集极限
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极限
数列极限
−定义
$如果对于forallvarepsilon > 0，exists正整数N_varepsilon，当n>N_varepsilon时，恒有mid x_n-amid 注： • • • $不等式mid x_n-amid →∞ lim=(undefined) 与前面的有限项无关。 性质 • 唯一性： 每个收敛的数列只有 一个极限。• 数列收敛的必要条件： 收敛数列必有界。– • 推论：无界数列必发散。 保序性 若lim=,lim=.且>,则∃正整数,使得当>时,有>→∞→∞.– 推论： 设lim=,lim=.有>(≥)成立,则≥.→∞ →∞→∞• 保号性 设lim=,且>0,则存在正整数,当>时，有>0.– 推论：设 设lim=,当>时，恒有>0,则有≥0.→∞函数极限 −定义（自变量趋于无穷大） $设函数f(x)在x>x_0上有定义，a 是常数，forall varepsilon>0,exists X>0使当 mid x mid>X时，恒有mid f(x)-amid →∞ lim()=(undefined) −定义（自变量趋于有限值） $设函数f(x)在x=x_0的去心邻域内有定义，a是一常数，若对于forall varepsilon>0，exists delta = delta_varepsilon，使得当0 →0lim=或()→(→0)(undefined) 注： • • • 函数极限与()在点0是否有定义无关； $delta与任意给定的正数varepsilon有关；$ $delta不唯一。$ 单侧极限 →0lim()=⇔lim()==lim()（判断极限是否存在）−0+0 →0 →0证明函数极限不存在： • • 证明左右极限至少有一个不存在； 或证明左右极限存在但不相等。 性质 • 函数极限与数列极限的关系 $归并定理 qquad 设函数f(x)在x_0的某一去心邻域内有定义，则 limlimits_{xrightarrow x_0}f(x)=a Leftrightarrow 对于数列x_n rightarrow x_0(x_n neq x_0)都有 limlimits_{nrightarrow infty }f(x_n)= a$ • • 唯一性 若lim()存在，则必唯一。 →0极限存在必要条件 若lim()=,则()在0的某一去心邻域内有界。 →0• $保序性 qquad 若limlimits_{xrightarrow x_0}f(x)= A, limlimits_{xrightarrow x_0}g(x)=B且A>B.则exists delta > 0, 对于 0 g(x).$ – $推论：设limlimits_{xrightarrow x_0}f(x)= A, limlimits_{xrightarrow x_0}g(x)=B,若exists delta > 0, 使得当 0 0(或A 0, 当0 0(或f(x)0(或A 0, 当0 $若 lim f(x),lim g(x)都存在，则 lim [f(x)pm g(x)] = lim f(x)pm lim g(x)qquad lim ccdot f(x)= c cdot lim f(x)(c 为常数)lim [f(x)cdot g(x)] = lim f(x)cdot lim g(x)qquad lim [f(x)]^n = [lim f(x)]^n(n为正整数)lim{f(x)over g(x)} = {lim f(x)over lim g(x)}(lim g(x)neq 0)$ 求极限 • 消去致零因子，有理分式因式分解，无理因式有理化
