积分变换讲稿(王琳)[推荐]_积分变换讲稿

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傅立叶变换

§1 傅立叶级数与积分

TT,]上满足狄氏条件，即在一个周期上满足：22（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）只有有限个极值点.设fT(t)是以T为周期的实函数，且在[a0则在连续点处，有

fT(t)(anconstbnsinnt).(1)（三角形式）

2n1其中2T22a0TfT(t)dt,,T2T

2T22T2anTfT(t)cosntdt(n1,2,),bnTfT(t)sinntdt(n1,2,).T2T21[fT(t00)fT(t00)].2在间断点t0处，(1)式右端级数收敛于

1、傅立叶级数的指数形式

eieieiei,sini.所以由于cos22einteinta0einteinta0anibnintanibnintfT(t)anibnee.2n12222n12令c0a0aibnaibn,cnn,cnn,n1,2,3,, 222则fT(t)ncenint.(2)

容易证明cn可以合写成一个式子 1T2cnTfT(t)eintdt(n0,1,2,).(3）T

22、傅立叶积分

任何一个非周期函数 f(t), 都可看成是由某个周期函数 fT(t)当T→+∞时转化而来的.即limfT(t)f(t).T由公式(2)、(3)，得1T21T2intinfT(t)TfT()ede,可知 f(t)limTfT()eindeint.TTTn2n2令nn,nnn1,则2,或T.Tn2intinf()edenTTn2T1T21于是 f(t)limTfT()eindeintlimTTn02n21T2intin令T(n)f()ede.TT22故f(t)limn0nT(n)n.(4)

1注意到当n0,即T时,T(n)(n)f()eindeint.从而2按照积分的定义，（4）可以写为f(t)()d,即 f(t) 12[f()eid]eitd.(5)

(函数 f(t)的傅氏积分公式)

定理2 若 f(t)在(-, +)上满足条件:(1)

f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件;

(2)f(t)在无限区间(-, +)上绝对可积,即|f(t)|dt收敛，则（5）在 f(t)的连续点成立.而在f(t)的间断点t0处,应以f(t00)f(t00)来代替.可以证明，当f(t)满足傅氏积分定理条件时，公式(5)可以写为三角形式，即[01f(t),在f(t)连续点处，f()cos(t)d]df(t0)f(t0)，其它.2(6)

事实上,根据欧拉公式,有

f(t)1i(t)[f()ed]d21[f()cos(t)dif()sin(t)d]d.2

(7)因为f()cos(t)d和f()sin(t)d分别是的偶函数和奇函数.所以由(7),得到 1f(t)[f()cos(t)d]d.(傅氏积分公式的三角形式)

0

§2 傅立叶变换

1、傅立叶变换的概念

当 f(t)满足一定条件时，在 f(t)的连续点处有：

1f(t)[f()eid]eitd.2从上式出发，设F()f(t)eitdt,(1）,则1f(t)2F()ed.it(2)

称(1)式，即F()f(t)eitdt为f(t)的傅立叶变换，记为F()F[f(t)]

称(2)式，即f(t)12F()eitd为傅立叶逆变换，f(t)F-1[f(t)]

(1)式和(2)式，定义了一个傅立叶变换对F()和f(t).也称F()为f(t)的像函数；f(t)为F()的原像函数.0,t0例1求函数f(t)t的傅氏变换及其积分表达式,其中0.e,t0这个f(t)叫做指数衰减函数,是工程中常碰到.解: 根据定义, 有

F()f(t)eitdteteitdte(i)tdt001i2.i2根据积分表达式的定义,有

f(t)1212F()eitd12iit22ed

i1costsint(costisint)dd.22220因此t0,0,costsint d/2,t0,022et,t0.

§3 傅立叶变换的性质

为了叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.1、线性性质

设F1()F[f1(t)]F2()F[f2(t)]，则[k1f1(t)k2f2(t)]k1F1()k2F2().其中k1，k2为常数.（逆变换也具有类似的性质）

2、位移性质

称f(tt0)为f(t)的位移函数.设F[f(t)]F()，则对于实常数t0,有F[f(tt0)]eit0F().证明：根据定义，得

tt0uF[f(tt0)]f(tt0)eitdtf(u)ei(ut0)dueit0f(u)eiudueit0F().显而易见，位移公式的作用是：知道了一个函数的变换，便可由此求出其位移函数的变换！

同理可得F1[F(0)]f(t)ei0t.3、微分性质

如果 f(t)在(-, +)上连续或只有有限个可去间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则 F[f'(t)]iF[f(t)].证明：根据定义，得F[f(t)]f(t)eitdteitdf(t)f(t)eitf(t)(i)eitdtiF[f(t)].一般地，如果 f(n)(t)在(-, +)上连续或只有有限个可去间断点, 且当|t|+时, 有 f(k)(t)0(k0,1,,n1).则F[f(n)(t)](i)nF[f(t)].dnF()(i)nF[tnf(t)].类似地可推得象函数的导数公式：nd经常使用上述公式求tnf(t)的傅氏变换.Aet,t0(A0,0);A则f(t)的傅氏变换F().例如，设f(t)i0,t0.则tf(t)的傅氏变换 F[tf(t)]i(i)AA 22(i)(i)则t2f(t)的傅氏变换 F[t2f(t)]2A.(i)

34、积分性质

如果当t时,g(t)证明：

tt1f(t)dt0，则Ff(t)dtF[f(t)].idtf(t)dtf(t).所以，根据微分性质，得F[f(t)]F[g'(t)]iF[g(t)], dt1即F[g(t)]F[f(t)].i

5、对称性质 因为若F[f(t)]F(),则F[F(t)]2f().证明：根据定义，有

1f(t)21F()ed2itF(p)eiptdp,1f()21F(p)eiptdp2

F(t)eitdt.特别地，若 f(t)偶函数，则F[F(t)]2f().6、相似性质

若F[f(t)]F(),则对于非零实常数a，有F[f(at)]特别地，若a1,则F[f(t)]F().（翻转性质）

1F.|a|a§4

卷

积

卷积是积分变换中的一个重要概念，这一运算在实际问题如线性系统分析中有着重要应用.1、卷积

定义

设函数 f1(t), f2(t)在整个数轴上有定义, 则f1(t)与 f2(t)的卷积, 记为

f1(t)*f2(t).2、卷积的性质 1.交换律

f1()f2(t)d称为函数

f1(t)f2(t)f2(t)f1(t).2.结合律

f1(t)[f2(t)f3(t)][f1(t)f2(t)]f3(t).3． 分配律

f1(t)[f2(t)f3(t)]f1(t)f2(t)f1(t)f3(t).4． 卷积满足如下不等式

|f1(t)f2(t)||f1(t)||f2(t)|.0,t0,例1 设f1(t)1,t0;0,t0,求 f1(t)*f2(t).f2(t)te,t0.解：代入定义，计算积分即可.f1(t)f2(t)t0f1()f2(t)d1f2(t)d

0t0tt(t)eed1e1edt0(t0).f1(t)f2(t)0(t0).3、卷积定理

卷积在积分变换中有着十分重要的的应用，主要体现在卷积定理上.定理设f1(t)和f2(t)满足傅氏积分定理中的条件，F[f1(t)]F1(),F[f2(t)]F2()，则F[f1(t)f2(t)]F1()F2().证明：根据定义，有

F[f1(t)f2(t)][f1(t)f2(t)]eitdt[f1()f2(t)d]eitdtf1()eif2(t)ei(t)ddtf1()eif2(t)ei(t)dtdF1()F2().类似地，可以证明

1F[f1(t)f2(t)]F1()F2().2

拉普拉斯变换

§1 拉普拉斯变换的概念

1.定义

设函数 f(t)当 t 0 时有定义, 而且积分0f(te)stdt0在)s 的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函s是一个复参量(数F(s)f(t)estdt(1)称为函数 f(t)的拉普拉斯变换(简称拉氏变换), 记为F(s)=L [ f(t)].F(s)称为 f(t)的拉普拉斯变换(或称为象函数).而f(t)为F(s)的拉普拉斯逆变换(或象原函数)记为f(t)=L1[F(s)]

也可记为 f(t)F(s).0,t0,例1 求单位阶跃函数u(t)的拉氏变换.1,t0解：根据拉普拉斯变换的定义, 有F(s)estdt.这个积分在Re(s)>0时收敛, 且11,有estdtest|00 所以

0L[u(t)]1s(Re(s)0).例2 求指数函数f(t)ekt的拉氏变换(kR).解：根据拉普拉斯变换的定义, 有

F(s)ektestdte(ks)tdt.这个积分在00Re(s)>k时收敛, 且有1(ks)t11kte|,L[e](Re(s)k).所以00kkskk为复数时上式也成立, 只是收敛区间为Re(s)>Re(k).2、拉普拉斯变换存在定理 ektestdt

若函数f(t)满足:（1）在t0的任一有限区间上分段连续；

（2）当t时, f(t)的增长速度不超过某一指数函数, 即存在常数M0及c0, 使得f(t)Mect,0t成立（满足此条件的函数，称它的增大是不超过指数级的，c为它的增长指数），则f(t)的拉普拉斯变换

F(s)0f(t)estdt

在半平面Re(s)c上一定存在,并且在Re(s)c的半平面内,F(s)为解析函数.注 定理的条件是充分的.例3 求 f(t)=sin kt(k为实数)的拉普拉斯变换.解：根据拉普拉斯变换的定义, 有

1iktiktststL[sinkt]sinktedt(ee)edt02i0i20e(sik)tdte(sik)tdt0i1(sik)te2sik01(sik)tesik0i11k, 2siksiks2k2k.同理可得s2k2所以L[sinkt]

L[coskt]s.s2k2§2 拉普拉斯变换的性质

1、线性性质

若,为常数，则L[f1(t)f2(t)]L[f1(t)]L[f2(t)].2、微分性质

若L[f(t)]F(s),则L[f'(t)]sF(s)f(0).推论

若L[f(t)]F(s),则L[f(n)(t)]snF(s)sn1f(0)sn2f'(0)f(n1)(0).特别地，若f(0)f'(0)f(n1)(0)0,则L[f(n)(t)]snF(s).例1 已知L[sinkt]k,求L[coskt].22sk解：因为(sinkt)'kcoskt,则L[coskt]

11sL[(sinkt)']{sL[sinkt]sin0}22,Re(s)0.kksk例2 利用微分性质求f(t)tm的拉普拉斯变换，其中m为正整数 解：因为f(m)(t)m!,所以L[t]sm!.mm1所以L[f(m)(t)]smF(s)sm1f(0)sm2f'(0)f(m1)(0)smF(s),1于是smL[f(t)]L[m!]m!L[1]m!,s 以上是象原函数的微分公式.此外，根据拉普拉斯变换的存在定理，还可以得到象函数的微分性质：

若L[f(t)]F(s),则F'(s)L[tf(t)],Re(s)c.F(n)(s)L[(t)nf(t)](1)nL[tnf(t)],Re(s)c.3、积分性质

1若L[f(t)]F(s),则L[f(t)dt]F(s).0s另外，关于像函数的积分，有如下公式：

f(t)]F(s)ds.(*)若L[f(t)]F(s),则L[stf(t)dtF(s)ds.特别地，在（*）式中令s=0，则00tsint例4 求f(t)的拉普拉斯变换.t1sint1]2dsarctan|arctans.解：因为L[sint]2,所以L[1ts12sint1dt2dsarctan|于是 000s1t24、位移性质

t

若L[f(t)]F(s),则L[es0tf(t)]F(ss0),Re(ss0)c.或者

L1[F(ss0)]es0tL1[F(s)]es0tf(t).这个性质表明了一个像原函数乘以es0t的拉氏变换等于其像函数作位移s0.例5 求f(t)eatsinkt的拉普拉斯变换

kkat,L[esinkt].所以s2k2(sa)2k2解：因为L[sinkt]

5、延迟性质

若L[f(t)]F(s),又t0时f(t)0,则对于任一非负实数，有L[f(t)]esF(s).或者L1[esF(s)]f(t).6、相似性质

1sF().aa若L[f(t)]F(s),a0,则L[f(at)]

§3

卷

积 1拉普拉斯变换下的卷积的定义为：

f1(t)f2(t)f1()f2(t)d.(1)0t2、卷积定理

设f1(t),f2(t)满足拉氏变换存在定理的条件，L[f1(t)]F1(s),L[f2(t)]F2(s),则 L[f1(t)f2(t)]F1(s)F2(s).或者 L-1[F1(s)F2(s)]f1(t)f2(t).