离散数学课后习题答案第四章_离散数学课后习题答案

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第十章部分课后习题参考答案

4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：（1）整数集合Z和普通的减法运算。

封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元（2）非零整数集合普通的除法运算。不封闭

（R）和矩阵加法及乘法运算，其中n2。（3）全体nn实矩阵集合封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵，无零元；

乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；

（4）全体nn实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n2。不封闭（5）正实数集合和运算，其中运算定义为：

不封闭

因为 1111111R（6）n关于普通的加法和乘法运算。

封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 加法单位元是0，无零元；

乘法无单位元（n1），零元是0；n1单位元是1（7）A = {a1,a2,,an} n运算定义如下：

封闭 不满足交换律，满足结合律，（8）S = 关于普通的加法和乘法运算。

封闭

均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律（9）S = {0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。

加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律（10）S = ,S关于普通的加法和乘法运算。

加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律

5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。

见上题

7．设 * 为Z上的二元运算x,yZ，X * Y = min(x，y),即x和y之中较小的数.(1)求4 * 6，7 * 3。

4,(2)* 在Z上是否适合交换律，结合律，和幂等律？ 满足交换律，结合律，和幂等律

(3)求*运算的单位元，零元及Z中所有可逆元素的逆元。单位元无，零元1, 所有元素无逆元

8．SQQ Q为有理数集，*为S上的二元运算，,S有

* =（1）*运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？ 不可交换：*= * 可结合：(*)*=*= *(*)=*=(*)*=*(*)不是幂等的（2）*运算是否有单位元，零元？ 如果有请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。

设是单位元，S，*= *= 则==，解的=，即为单位。

设是零元，S，*= *= 则==，无解。即无零元。

S，设是它的逆元*= *= == a=1/x,b=-y/x 所以当x0时，x,y11y, xx

10．令S={a，b}，S上有四个运算：*，分别有表10.8确定。

(a)

(b)

(c)

(d)

(1)这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？(a)交换律，结合律，幂等律都满足，零元为a,没有单位元；(b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元

a1a,b1b(c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律

a(bb)aab, a(bb)(ab)b

没有单位元, 没有零元

(d)不满足交换律，满足结合律和幂等律

没有单位元, 没有零元

(2)求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。见上

(ab)baba

16．设V=〈 N，+，〉，其中+，分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？

（1）S1=（2）S2= 是

不是 加法不封闭

（3）S3 = {-1，0，1} 不是，加法不封闭

第十一章部分课后习题参考答案

8.设S={0，1，2，3}，为模4乘法，即

y=(xy)mod 4 “x,y∈S, x问〈S，〉是否构成群？为什么？

y=(xy)mod 4S,是S上的代数运算。解：(1)x,y∈S, x(2)x,y,z∈S,设xy=4k+r 0r3

(xy)z =((xy)mod 4)

z=r

z=(rz)mod 4 =(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 同理x(yz)=(xyz)mod 4 y)z = x1)=(1(y

z)，结合律成立。所以，(x(3)x∈S,(xx)=x,，所以1是单位元。

(4)111,313, 0和2没有逆元 所以，〈S，9.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算。如下： ” x,y∈Z,xoy= x+y-2 问Z关于o运算能否构成群？为什么？〉不构成群 解：(1)x,y∈Z, xoy= x+y-2Z,o是Z上的代数运算。(2)x,y,z∈Z,(xoy)oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成立。

(3)设e是单位元，x∈Z, xoe= eox=x,即x+e-2= e+x-2=x, e=2(4)x∈Z , 设x的逆元是y, xoy= yox=e, 即x+y-2=y+x-2=2, 所以，x1y4x 所以〈Z，o〉构成群

101011.设G=01,01,101001,01，证明G关于矩阵乘法构成一个群． 解：(1)x,y∈G, 易知xy∈G,乘法是Z上的代数运算。

(2)矩阵乘法满足结合律

10(3)设01是单位元，(4)每个矩阵的逆元都是自己。所以G关于矩阵乘法构成一个群．

14.设G为群，且存在a∈G,使得 G={ak∣k∈Z} 证明：G是交换群。

证明:x,y∈G，设xak,yal，则

xyakalaklalkalakyx 所以，G是交换群

17.设G为群，证明e为G中唯一的幂等元。

22证明:设e0G也是幂等元，则e0e0，即e0e0e，由消去律知e0e

18.设G为群，a,b,c∈G,证明

∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣ 证明：先证设(abc)ke(bca)ke 设(abc)ke,则(abc)(abc)(abc)(abc)e，即

a(bc)(abc)(abc)a(bc)aa1e 左边同乘a1，右边同乘a得

(bca)(bca)(bca)(bca)(bac)ka1eae

反过来，设(bac)ke,则(abc)ke.由元素阶的定义知，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣

19.证明：偶数阶群G必含2阶元。

证明：设群G不含2阶元，aG，当ae时，a是一阶元，当ae时，a至少是3阶元,因为群G时有限阶的，所以a是有限阶的，设a是k阶的,则a1也是k阶的，所以高于3阶的元成对出现的，G不含2阶元，G含唯一的1阶元e,这与群G是偶数阶的矛盾。所以，偶数阶群G必含2阶元

20.设G为非Abel群，证明G中存在非单位元a和b,a≠b,且ab=ba.证明：先证明G含至少含3阶元。

若G只含1阶元,则G={e},G为Abel群矛盾；

若G除了1阶元e外,其余元a均为2阶元，则a2e，a1a

a,bG,a1a,b1b,(ab)1ab,所以aba1b1(ba)1ba，与G为Abel群矛盾；

所以，G含至少含一个3阶元，设为a，则aa2，且a2aaa2。令ba2的证。

21.设G是Mn(R)上的加法群，n≥2，判断下述子集是否构成子群。（1）全体对称矩阵 是子群（2）全体对角矩阵 是子群

（3）全体行列式大于等于0的矩阵.不是子群（4）全体上（下）三角矩阵。是子群

22.设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N（a）表示G中与a可交换的元素构成的集合，即 N（a）={x∣x∈G∧xa=ax} 证明N（a）构成G的子群。证明：ea=ae,eN(a)

x,yN(a),则axxa,ayya

a(xy)(ax)y(xa)yx(ay)x(ya)(xy)a,所以xyN(a)

由axxa，得x1axx1x1xax1,x1aeeax1，即x1aax1，所以x1N(a)所以N（a）构成G的子群

31.设1是群G1到G2的同态，2是G2到G3的同态，证明12是G1到G3的同态。证明：有已知1是G1到G2的函数，2是G2到G3的函数，则1·2是G1到G3的函数。

a,bG1,(12)(ab)2(1(ab))2(1(a)1(b))

(2(1(a)))(2(1(b)))(12)(a)(12)(b)所以:1·2是G1到G3的同态。

33.证明循环群一定是阿贝尔群，说明阿贝尔群是否一定为循环群，并证明你的结论。

证明：设G是循环群,令G=,x,yG,令xak,yal,那么

xyakalaklalkalakyx,G是阿贝尔群

克莱因四元群,G{e,a,b,c}

eeabceabcaaecb bbceaccbae是交换群,但不是循环群,因为e是一阶元，a,b,c是二阶元。36.设,是5元置换，且

123451234521453，34512

(1)计算,,1,1,1；(2)将,1,1表成不交的轮换之积。

(3)将（2）中的置换表示成对换之积，并说明哪些为奇置换，哪些为偶置换。

1234512345112345解：(1) 4532143125 45123

11234512345121534 54132 )1(14253(2)(1425)(25))1(143(3)(14)(12)(15)奇置换，1(14)(12)(15)(13)偶置换

1(14)(13)(25)奇置换