空间向量的基本定理_空间向量基本定理

2020-02-28 其他范文下载本文

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§9.5.4空间向量的基本定理

教学目标：

⒈了解空间向量基本定理及其推论； ⒉理解空间向量的基底、基向量的概念

教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论）．教学难点：空间作图．教学方法：讲授法．教学过程设计：

一、复习引入

1．复习向量与平面平行、共面向量的概念．

区别：（1）向量与平面平行时，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．

（2）平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．

2．空间共面向量定理及其推论．

（1）共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得

p= xa+yb ．（2）共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得MPxMAyMB，或对于空间任意一定点O，有 OPOMxMAyMB．②

OP(1xy)OMxOAyOB ③

今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的三个公式我们可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理．

二、新课讲授

问题1：右图中的向量AB、AD、AA'是不共面的三个向量，请问向量AC'与它们是什么关系？由此可以得出什么结论？AC'ABADAA'．由此可知，始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量．问题2：如果向量AB、AD、AA'分别和向量a、b、c共线，能否用向量a、b、c表示向量AC'？AC'＝xa+yb+zc

事实上，对空间任一向量AC'，我们都可以构造出上述平行六面体，由此我们得到了空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使 p＝xa+yb+zc．

证明：存在性：（见课本P31）

唯一性：设另有一组实数x’、y’、z’，使得p＝x’a+y’b+z’c，则有

xa+yb+zc＝x’a+y’b+z’c，∴(x－x’)a+(y－y’)b+(z－z’)c＝0．

∵a、b、c不共面，∴x－x’＝y－y’＝z－z’＝0，即x＝x’且y＝y’且z＝z’．故实数x、y、z是唯一的．

由上述定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成，我们把｛a、b、c｝叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量．

说明：①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． ②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量．（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面）

③一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量．

由定理的证明过程（P32第一行）可以得到下面的推论：

设O、A、B、C是不共面的四个点，则对空间任一点P，都存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使

OPxOAyOBzOC．

说明：若x＋y＋z＝１，则根据共面向量定理得：P、A、B、C四点共面．例４（见课本P32）