向量解题技巧_向量法解题技巧

2020-02-28 其他范文下载本文

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一、怎么样求解向量的有关概念问题

掌握并理解向量的基本概念１.判断下列各命题是否正确

(1)若ab,bc,则ac；

(2)两向量a、b相等的充要条件是ab且a、b共线； (3)ab是向量ab的必要不充分条件；

(1)若A、B、C、D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； (2)ABCD的充要条件是A与C重合，B与D重合。

二、向量运算及数乘运算的求解方法

两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差

是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重要结论：a与b不共线，则ab与ab是以a与b为邻边的平行四边形两条对角线所表示的向量。在求解向量的坐标运算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标，即若A(x1,y1),B(x2,y2)，则ABOBOA(x2,y2)(x1,y1)(x2x1,y2y1)。

例1 若向量a(3,2),b(0,1),则2ba的坐标是_______ 例2 若向量a(1,1),b(1,1),c(1,2)则c____

13133131A.ab　B.ab　C.ab　D.ab

22222222例3 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3),若点C满足OCOAOB，其中,R且1，则点C的轨迹为（）A.3x2y110 B.(x1)2(y2)20

C.2xy0 D.x2y50ABACOPOA()，[0,)，则P的轨迹一定过ABC的（）

ABAC例4 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心

例5 设G是ABC内的一点，试证明:

(1)若G是为ABC重心，则GAGBBC0；

(2)若GAGBBC0，则G是为ABC重心。三、三点共线问题的证法 证明A,B,C三点共线，由共线定理(AB与AC共线)，只需证明存在实数，使ABAC，其中必须有公共点。

共线的坐标表示的充要条件，若a(x1,y1),b(x2,y2)，则

a//babx1y2x2y10(x1y2x2y1)

例1 已知A、B两点，P为一动点，且OPOAtAB，其中t为一变量。

证明：1.P必在直线AB上；2.t取何值时，P为A点、B点？

例2 证明：始点在同一点的向量a、b、3a2b的终点在同一直线上 ababab 例3 对于非零向量a、b,求证：

四、求解平行问题

两向量平行，即共线，往往通过“点的坐标”来实现；两向量是否共线与它们模长的大小无关，只由它们的方向决定；两向量是否相等起点无关，只由模长和方向决定。

例1 已知M(1,0),N(0,1),P(2,1),Q(1,y)且MN//PQ，求y的值。

AB213,则B点的坐标是____.例2 已知点A(1,2)，若向量AB与a(2,3)同向，例3 平面内给定三向量a(3,2),b(1,2),c(4,1)，则： (1)求3ab2c;

(2)求满足ambnc的实数m、n

(3)若(akb)//(2ba),求实数k;

(4)设d(x,y)满足(dc)//(ab)且dc1,求d.例4

(1)已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6)，求AC与DB的交点，P的坐标。

(2)若平行四边形ABCD的顶点A(1,2),B(3,1),C(5,6),求顶点D的坐标。

五、向量的数量积的求法

定义法：ababcos

求数量积：坐标法：abx1x2y1y2当a//b时，0和180两种可能。故abab

2222222一些重要的结论：aaaa；(ab)a2abb；(ab)(ab)ab

例1 设a,b,c是任意的非零的向量，且相互不共线，则（）

①(ab)c(ca)b0;②abab;2 2③(bc)a(ac）b不与c垂直④(3a2b)(3a2b)9a4b其中是真命题的为（）A.①② B.②③ C.③④ D.②④

例2 已知平面上三点A、B、C，满足AB3,BC4,CA5,则ABBCBCCACAAB的值等于________。

.例3 已知向量a和b的夹角为120，且a2,b5,则(2ab)a______

六、如何求向量的长度

形如ab的模长求法：先平方转化为含数量积运算开方，即：

22222 aba2abb

例1 已知向量a,b,ab4,a与b的夹角为60,则ab____,ab____,其中

ab与a方向的夹角为_____,ab与a方向夹角为______.例2 设向量a,b满足ab1,3a2b3,求3ab的值。

七、如何求两向量的夹角

abcos 夹角公式：abx1x2y1y222x12y12x2y2

1例1 已知a10,b12,且(3a)(b)36,求a,b的夹角_____.5例2 若e1与e2是夹角为60的单位向量，且a2e1e2,b3e12e2,求ab及a与b的夹角。

八、垂直问题的求解

向量垂直的充要条件：abab0x1x2y1y20

例1若向量a,b满足abab,则a与b所成的角。

例2在ABC中AB(2,3),AC(1,k),且ABC的一个内角为直角，求k的值。

3a2b与ab垂直，求 例3已知ab,a2,b3.且。例4已知O(0,0),A(0,5),B(6,3),ADOB于点D,求D点的坐标。

九、向量的数量积的逆向应用

求解有关向量的问题，可设出该向量的坐标，列出方程或方程组求之。

例1已知a(4,3),b1,且ab5,则b?

例2求与向量a(3,1)和b(1,3)的夹角相等，且模长为２的向量c的坐标

180，且b35,则b()例3若平面向量b与向量a(1,2)的夹角是B.(3,6)C.(6,3)D.(6,3)

A.(3,6).例4已知向量b与向量a(3,4)垂直，且b15,则b_______

十、线段定比分点公式的运用技巧

求解定比分点问题，要注意结合图形，分清是内分点是外分点，不能混淆起点和终点，x定比分点坐标公式：yx重心坐标公式：yx1x2x1x2x1中点坐标公式：2，y1y2yy2y112x1x2x33 y1y2y333例1设点P分有向线段P，则P1分P2P所成的比为________。1P2所成的比为

4例2已知两点P(4,9),Q(2,3),则PQ与y轴的交点分有向线段PQ所成的比为___.

十一、利用平移公式解题

点A(x,y)按向量a(h,k)平移，得到点向量(xh,yk)，而函数yf(x)的图像按 a(h,k)平移得到的函数的解析式为yf(xh)k，解题时要注意理解图像平移前后的关系。例1已知两个点P(1,2),P'(2,14),向量a(3,12),则：(1)把P按向量a平移得_______.(2)某点按a,得到P'，求这个点坐标。

(3)P按某向量平移得到P',求这个向量坐标。

例2将函数ylog3(2x1)4的图像按向量a平移后得到的是函数ylog3(2x)的图像，那么

a的坐标是_______.4

例3将函数y2sin2x的图像按向量得y2sin(2xa平移，是（）

3)1的图像，则向量a的坐标A.(,1)B.(,1)C(,1)D(,1)

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十二、怎样利用正、余弦定理求三角形的边与角

主要考查正、余弦定理，勾股定理、三角变换，诱导公式。abc2R；a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC sinAsinBsinC111 三角形面积公式：SABCabsinCbcsinAacsinB。

22正弦定理：

b2c2a2

余弦定理：abc2bccosA;cosA

2bc222下面关系式需熟记：在ABC中