命题逻辑习题及其参考答案_命题逻辑练习题及答案

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1．某地发生一起刑事案件，经过公安人员的努力侦破，作案嫌疑人锁定在Ａ、B、Ｃ三人中，并且摸清了以下情况：

① 只有０１号案件成功告破，才能确认Ａ、Ｂ、Ｃ三人都是作案人。

② 目前，０１号案件还是一起悬案。

③ 如果Ａ不是作案人，那么Ａ的供词是真的，但Ａ说自己与Ｂ都不是作案人。

④ 如果Ｂ不是作案人，那么Ｂ的供词也是真的，但Ｂ说自己与Ｃ是好朋友。

⑤ 现已查明Ｃ根本不认识Ｂ。

根据上述线索，问：Ａ、Ｂ、Ｃ三人中谁是作案人？

解：令p：０１号案件成功告破；q、r、s分别表示A、B、C作案；t：B与Ｃ是 好朋友。据题意有： 1.{1} P ┐p→┐（q∧r∧s）2.{2} P ┐p 3.{3} P ┐q→（┐q∧┐r）4.{4} P ┐r→t 5.{5} P ┐t 6.{4.5} r T4.5否定后件 7.{1.2} ┐（q∧r∧s）T1.2肯定前件 8.{1.2} ┐q∨┐r∨┐s T7德摩根 9.{1.2.3} q T3.6否定后件 10.{1.2.3.4.5} q∧r P6.9组合式

答：AB作案，至于C尚待侦查。2．综合分析题（要求写出推导过程）：某班有学生61人，下面有三句话：

① 该班有些学生会使用计算机。

② 该班有些学生不会使用计算机。

③ 该班班长不会使用计算机。

已知上述三句话中，只有一句话是真的，试问：哪一句话是真话？该班有多少学生会使用计算机？

解：①②分别为I命题和O命题，二者是下反对关系，必有一真，或许都真；但据题设只有一句真话，可知③为假，真实情况是班长会使用计算机。既然这样第一句话“该班有些学生会使用计算机”就是真的，而第二句话就是假的。O命题假，根据矛盾关系可知，A命题即“该班所有学生都会使用计算机”就真，所以，全班61个学生都会计算机。3．下面有三句话：

① 如果甲是篮球队员，则乙就是足球队员。

② 如果乙是足球队员，则甲就是篮球队员。

③ 甲不是篮球队员。

已知上述三句话中只有一句话是真话，问：甲是不是篮球队员？乙是不是足球队员？哪一句话是真话？

（要求写出推导过程）

解：令p表示“甲是篮球队员”，q表示“乙是足球队员”，再令③即“┐p”真，据题设有：

①{1} ┐（p→q）P ②{2} ┐（q→p）P ③{3} ┐p

P ④{1} p∧┐q

T①等值关系

⑤{1} p

T④合取分解 ⑥{1.3} p∧┐p T③⑤合取组合⑦{1} p

T归谬③⑥

⑧{2} q∧┐p T②等值关系

⑨{2} ┐p

T⑧合取分解

⑩{1.2} p∧┐p T⑦⑨合取组合⑾{1}（q→p）归谬②⑩

可见：第二句话为真，一三两句为假。甲为篮球队员为真，但并非“甲为篮球队员，乙就是足球队员”，但“如果乙是足球队员，则甲是篮球队员”。4．已知下列三个命题中只有一个命题为假, 问:哪一句话是假话？该班51名学生中有多少人是团员？(要求写出推导过程)(1)该班所有的学生是团员。(2)该班所有的学生不是团员。(3)该班班长不是团员。

解：(1)(2)为上反对关系，必有一假，据题设，(3)即“该班班长不是团员”就为真，由此可知(1)为假(矛盾关系)；据题设，(1)假，(2)真，实际情况是该班51人都非团员。

5．证明：如果同时肯定下列三个命题，则违反了矛盾律要求

（1）PES（2）MOP → SIP（3）SIM 证明：

(4)SEP

T(1)换位

(5)并非SIP

T(4)矛盾对当关系

(6)并非MOP

T(2)(5)否定后件

(7)MAP

T(6)矛盾对当关系

(8)SIP

T(3)(7)直言三段论(9)SIP且并非SIP T(5)(8)合取组合(10)并非((1)∧(2)∧(3))归谬

6．已知

① 非（Ａ→Ｂ）←（Ｃ∧非Ｄ）

② Ａ→Ｃ

③ Ｃ→Ｂ

求证： Ａ→Ｄ

证明：

④ A→Ｂ

T②③假言三段论

⑤ 并非(Ｃ∧非Ｄ）T①④否定前件

⑥ 非C∨D

T⑤德摩根

⑦ C→Ｄ

T⑤蕴涵否析

⑧ Ａ→Ｄ

T②⑦假言三段论

7． 已知：

① A→（B∨C）

② 非 B→A ③ 非（D→B）

④ 非 D ← 非E 求证：E∧C 证明：

⑤ B∨A

T②蕴涵否析

⑥ D∧非B T③蕴涵否定等值关系

⑦ 非B

T⑥组合分解

⑧ D

T同上

⑨ E

T④⑧否定前件

⑩ A

T⑤⑦否定肯定

⑾ B∨C

T①⑩肯定前件

⑿ C

T⑦⑾否定肯定

⒀ E∧C

T⑨⑿合取组合12．用选言法证明：小前提为O命题的有效三段论必定是第二格三段论。

证明：先构成小前提为O命题的选言支，其大小前提的组合情况有下面几种：1）AO，2）EO，3）IO，4）OO。而其中3）和4）都是两个特称的前提，根据规则6，推不出；2）为两个否定，据规则3也推不出。这样就只有1）AO组合能满足要求。这个组合有两次周延的机会，由于有O命题作为前提，结论是否定的，则大前提在结论中是周延的，因而（据规则2）要求大项在结论中周延；而大项要在A命题中周延，大项必须是全称命题的主项，因而，大前提为PAM。再者，中项必须周延一次（规则1），所以，小前提中的小项就不可能周延了，它一定是O命题的主项，即小前提是SOM。综上该有效三段论就为第二格，如下所示：

PAM 图a SOM SOP

13．用反证法证明：有效的第四格三段论的大小前提都不能是O命题。先作出第四格的图式如下：

P——M 图b M——S S——P 证明：1）令大前提为POM。这样结论就是否定的，因而，结论中P周延，然前提中它并不周延，违背了三段论规则2，所以，大前提不能是O命题；2）再令小前提为MOS，同理，大项（否定命题的谓项）结论中周延，要求大词前提中周延，大项也该在前提中周延，这样大前提就该是PAM或者PEM。而小前提为否定的，则大前提不能为PEM，因为两个否定的命题推不出（规则3），这样大前提就只能是PAM，则大前提中的中项（肯定的谓项）不周延，必须在小前提中周延，这样小前提就因该是全称命题，与假定矛盾。所以小前提不能是O命题。

14．证明：若有效的第四格三段论的小项在结论中周延，则该三段论必为AEE。

证明：第四格如图b所示，小项在结论中周延，则要求它在前提中周延，那么根据S在前提中谓项的位置，它只可能在小前提为否定命题的时候才能满足；但，这样就只能得出否定的结论，而否定的结论中大项就是周延的，因而，大前提中大项也应周延，大前提中主项上的大项P要得以周延，只可能是全称命题PAM或PEM才有机会；PEM淘汰，因为小前 3 提是否定的。大前提只可能是PAM了，而M在此并没有周延，因此，要求M在下面的小前提中周延，所以，小前提只能是全称否定命题MES。也只有如此，结论才可以得到SEP的结论。

15．已知某有效三段论的小前提是否定命题，求证：该三段论的大前提只能是全称肯定命题。

证明：小前提否定的，结论就是否定的，则，大项在结论中周延，因而大项在前提中也要周延；大前提如果是否定的则违反规则3，所以大前提为肯定命题。又因I命题主词谓词均不周延，大前提就只能是A命题，大词处于主项位置，具体形式该为PAM。

16．已知：

（1）A真包含于B。

（2）有C不是B。

（3）若C不真包含A，则C真包含于A。

请问：A与C具有什么关系？请写出推导过程，并用欧拉图将A、B、C三个概念在外延上可能具有的关系表示出来。

推理：

（1）所有A是B P（2）有C不是B P（3）若有C不是A，则所有C是A P（4）有C不是A T(1)(2)三段论

（5）所有C是A T(3)(4)肯定前件

图c

17．某排球队有1、3、4、6、9和12号等六名主力队员。他们之间的最佳配合有以下规律：

（1）要是4号上场，6号也要上场。

（2）只有1号不上场，3号才不上场。

（3）要么3号上场，要么6号上场。

（4）如果9号和12号同时上场，则4号也要上场。

某场比赛需要1和12号同时上场。问：为了保持最佳阵容，这场比赛中，9号该不该上场？（要求写出导过程。）

解：

1.{1} 4→6 P 2.{2} 1→3 P 3.{3}（3∧┐6）∨（┐3∧6）P 4.{4}(9∧12)→4 P 5.{5} 1∧12 P 6.{5} 1 T5分解 7.{5} 12 T5分解

8.{2.5} 3 T2.7肯定前件

9.{2.3.5} ┐6 T3.9肯定否定

10.{1.2.3.5} ┐4 T1.9否定后件

11.{1.2.3.4.5} ┐（9∧12）T4.10否定后件

12.{1.2.3.4.5} ┐9∨┐12 T11德摩根

13.{1.2.3.4.5} ┐9 T7.12否定肯定

答： 由此可知9没有上

18．某商店被盗，员工甲、乙、丙、丁涉嫌被调查。

甲：我没有作案，作案的是乙。

乙：我和丙都没有作案。

丙：除非甲作案，否则乙不会作案。

丁：甲和丙中至少有一人作案。

已知这四句话中只有一句为真，问到底是谁作案？谁说的是真话？（要求写出推导过程。）

解：

这是个典型的找矛盾的题，只要找到矛盾的说法肯定其中就有个是对的，而余下的其他人的说法就是错的，这样就能解开谜团。我们用甲乙丙丁分别表示四个嫌疑人作案，他们几个的供词如下：

甲：┐甲∧乙

乙：┐乙∧┐丙

丙：┐甲→┐乙

丁：甲∨丙

分析：甲：“没有甲乙也会作案”，而甲说：“没有甲乙就不会作案”；显然甲和丙的话是矛盾的，必有一真，据题设只有一句真话，那么乙和丁的话就不可能真，而真实的情况该是“并非（┐乙∧┐丙）”（a），“并非（甲∨丙）”（b）。从（a）可知或乙或丙作案（乙∨丙），从（b）甲和丙都没有作案，即（┐甲∧┐丙）。从（b）知道乙没有作案（┐丙）（c）；甲也没有作案（┐甲）（d）。既然如此，据（a）（c），那就是乙作案了（乙）（e）。据（d）（e）得知“┐甲∧乙”为实情，甲说的是真话，那么丙说的就是假话了。

19．A、B、C三人从政法大学毕业后，一个当上了法官，一个当上了检察官，另一个人做了律师。但究竟谁具体做什么工作，人们开始并不清楚，于是作出了如下测: 甲：A做了律师，B做了法官。

乙：A做了法官，C做了律师。

丙：A做检察官，B做了律师。

后来证实，甲、乙、丙三人的猜测都只是对了一半。请问：A、B、C三人各担任什么具体司法工作？（要求写出推导过程。）

解：

设甲的前半句话为真，即“A是律师”，则乙的猜测完全错了，故“A是律师”为假，甲的后半句话为真，即“B是法官”。

“B是法官”为真，则丙的后半句话为假，其前半句话为真，即“A是检察官”。

“A是检察官”为真，则乙的前半句话为假，其后半句话为真，“C是律师”。

20．已知下面三句话中两真一假，试说明甲和乙至少有一人是电工。（1）如果丙不是木工，那么甲是电工。

（2）如果丁不是木工，那么乙是电工。

（3）丙和丁都是木工。

解：

通常做这类题关键在于找相互矛盾的命题，找到这对矛盾的命题就好办了，矛盾的命题是必有一真必有一假的，所以这个假的命题一定在其中；按题意则余下的那个命题就是真的了。你可以来找找！但，今天这个题有些特别，我们得换一个思路。我用下标m表示某人是木工，下标d表是电工：

1.{1} ┐丙m→甲d P 2.{2} ┐丁m→乙d P 3.{3} 丙m∧丁m P 4.{4} ┐甲d∧┐乙d P（假设甲乙都非电工，如果有矛盾就证明至少为d）

5.{4} ┐甲d T4分解

6.{4} ┐乙d T4分解

7.{1.4} 丙m T1.5否定后件

8.{2.4} 丁m T2.6否定后件

9.{1.2.4} 丙m∧丁m T7.8组合这样一来就没有一个为假的命题了，与题设不相符合，所以第4行的引入不能满足该题条件，用归谬律将4归谬，所以证明：┐（┐甲d∧┐乙d），即：甲d∨乙d

21．已知下列三句话一真两假，问：甲、乙、丙、丁的名次如何排定？

（1）若乙第二，则甲第一。

（2）若丙第三，则甲第一。

（3）甲不是第一，解：(a)甲或是第一或不是第一；若甲是第一（后件真，则这个蕴涵一定为真），则(1)、(2)均真，不合题设；故(3)“甲不是第一”为真；(b)(3)真，根据题设，则(1)与(2)均假，因而(4)乙是第二、(5)丙是第三、(6)甲不是第一；(c)由(4)、(5)、(6)可推甲、乙、丙和丁的名次依次为第4、2、3、1名。

22．已知以A、B为前提可以必然推出C，而D与C矛盾，E与A矛盾。试证明：由D和B可以必然推出E。

解：

1.{1} A∧B→C P 2.{2}（D∧┐C）∨（┐D∧C）P 3.{3}（E∧┐A）∨（┐E∧A）

P 4.{4} D P 5.{2.4} ┐C T2.4肯定否定

6.{1.2.4} ┐（A∧B）T1.5否定后件 7.{1.2.4} ┐A∨┐B T6德摩根 8.{5} B P 9.{1.2.4.5} ┐A T7.8否定肯定 10.{1.2.3.4.5} E T3.9否定肯定 11.{1.2.3.4.5} D∧B T4.8组合 12.{1.2.3} D∧B →E D4.8.10.11