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数学与统计学院

期中考试（论文）

学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级：姓名：牟景峰

14级本科一班

2015年11月11日

讨论n元函数的极限的证明与计算方法

牟景峰

（陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000）

【摘要】 联系一元函数定义、极限、以及极限的证明方法和计算方法讨论得出多元函数极限的证明和计算方法。

【关键词】 n元函数 极限 证明 计算方法

引言

在此之前我们已经学过一元函数，把一元函数的主要概念和极限推广到多元函数上是至关重要的，多元函数与一元函数相比，多元函数定义域的复杂性使得对讨论多元函数相关问题带来不便，因此，我们要在讨论多元函数时既要注意的多元函数与一元函数的区别，也要注意到它们的联系。这里我们将讨论两个问题，分别是多元函数极限的证明和计算方法。在此之前，我们首先给出多元函数的概念。

一、n元函数的概念

1、n维欧氏空间

众所周知，实数轴上的点与全体实数一一对应。在确定的坐标系下平面上的点与所有有序实数对（x,y）一一对应，空间中点与所有有序三元实数组（x,y,z）一一对应。一般来说，定义所有有序n元实数组(x1,x2,…,xn)所组成的集合为n维欧几里德（Euclid）空间，简称n维欧氏空间，记为Rn，即

Rn={（x1，x2，…，xn）；x1，x2，…，xn为实数}

2、n元函数的概念

⒈有了前面n维欧氏空间的概念我们就可以建立n元函数的概念了。我们学过一元和二元函数，将其推广到n（≥3）元函数，就没有什么原则上的困难。为此我们先建立n维欧氏空间

Rn={（x1，x2，…，xn）；x1，x2，…，xn为实数} 也就是说，Rn是全体有序的n个实数组的集合，把每个n元实数组看成Rn空间的点X=（x1，…，xi，…，xn），xi是它的第i（1≤i≤n）个坐标.Rn中的点X=（x1，…，xn）与Y=（y1,…,yn），当且仅当xiyi（1≤i≤n）时，才有X=Y成立。Rn的任何子集叫做n维点集。这样，n元函数不过是由n维点集到实数集的映射罢了。⒉设DRn,MR，fD×M,且对每个X=（x1，…，xn）D，有唯一确定的数uM与之对应，使（X,u）=（x1，…，xn；u）f，则称f为定义于D,取值于M的n元函数。记作

f:D→M；或u=f(X)=f(x1，…，xn),X=（x1，…，xn）D，D称为函数f的定义域，M称为f的取值域。

n元函数u=f(X)=f(x1，…，xn),X=（x1，…，xn）D的图像为集合 S={（x1，…，xn；u）{u=f(x1，…，xn),（x1，…，xn）D}Rn1}.当n≥3时，S就没有直观的几何表示，我们称它为Rn1空间的超曲面。

二、n元函数的极限的证明

00设f(X)是n元函数，D称为其定义域，x0=（x1,x2,…,x0n）是D的聚点。对于实数A,如果任给﹥0，存在﹥0，使得当x属于D且0﹤|x﹣x0|﹤时，就有

|f(X)﹣A|﹤，⑴

则称A是xx0时f(X)的极限，记为

xx0limf(X)=A.⑵

特别地，当n等于2时，也记作limf（x1，x2）=A 0xx10xx20注：U0（x0，）={（x1，…，xn）||xi﹣x1|﹤，i=1,2,…,n且（x1，x2，…，xn）≠（x,x,…,x）}或U（x0，）={（x1，…，xn）|0﹤01020n0(xk1nk02xk)﹤} 据上定义，要证，limf(X)=A，只需证对任意的﹥0，存在﹥0，当DU0（x0，xx0）X时，有，|f(X)﹣A|﹤。

这里找关键，通常是从不等式⑴入手，通过解⑴得到要找的，大家知道这往往是很困难的，常常要考虑函数f(X)本身的性态和一些解题技巧。一般地，证明⑵采取适当放大不等式⑴的方法。

000|f(X)﹣A|≤…≤|x1x1|·|g1（x）|+|x2x2|·|g2(x)|+…+|xnxn|·|gn（x）| ⑶(ⅰ)若|gi（x）|=M,（i=1,2,…,n）即gi（x）皆为常数，则取 M=max{M1,M2,…,Mn} 任意的﹥0取nM﹥0,当DU0（x0，）X时，有

00|f(X)﹣A|≤…≤|x1x1|M1+…+|xnxn|Mn﹤

M1M2Mn++…+nMnMnM≤即，limf(X)=A xx0

（ⅱ）若存在1﹥0，使gi（x）（i=1,2,…,n）在U0（x0，1）D内有界，即

当M﹥0,使任意的XU0（x0，1）D有 |gi（x）|=M,（i=1,2,…,n）于是，当XU0（x0，1）D时，有

00|f(X)﹣A|≤M（|x1x1|+…+|xnxn|）

任意的﹥0，取=min（，1）XU0（x0，1）D时，有 nM00|f(X)﹣A|≤M（|x1x1|+…+|xnxn|）=

即证明了：limf(X)=A xx0现在的问题是将如何将|f(X)﹣A|放大为满足（ⅰ）或（ⅱ）的不等式⑶，上面主要给出了证明的主要思想，至于说具体做法，要根据不同的函数来定。一般都是用直接放大法和变量替换，这里就不再重复，下面介绍一种利用代数方法导出的一种证明方法——多元多项式的带余除法（此方法仅适用于证明多元多项式的极限）。

由一元多项式的带余除法理论不难得到如下结果。

n00R定理1 设f(x1，…，xn)为n元多项式，则对任意的x0=（x1），,x2,…,x0n若存在多项式f1(x1，…，xn)、f2(x2，…，xn)、…、fn(xn)及常数M，使成立

000f(x1，…，xn)=（x1x1）f1(x1，…，xn)+（x2x2）f2(x2，…，xn)+…+（xnxn）fn(xn)+M

⑷

0事实上，应用一元多项式的带余除法，先用（x1x1）去除f(x1，…，xn)可得到

0f(x1，…，xn)=（x1x1）f1(x1，…，xn)+g1(x1，…，xn)0再用x2x2去除g1(x1，…，xn)可得到

0g(x2，…，xn)=（x2x2）f2(x2，…，xn)+g2（x3，…，xn）

0继续用x3x3去除g2（x3，…，xn）可得

0）f3（x3，…，xn）+g3（x4，…，xn）g2（x3，…，xn）=（x3x3……

0）fn(xn)+M gn1（xn）=（xnxn于是

000f(x1，…，xn)=（x1x1）f1(x1，…，xn)+（x2x2）f2(x2，…，xn)+…+（xnxn）fn(xn)+M

00推论1 n元多项式f(x1，…，xn)可表示为

⑷式f（x1,x2,…,x0n）=M 推论2 若n元多项式f(x1，…，xn)可表示为

⑷式，则表示式是唯一的。定理2 若n元多项式f(x1，…，xn)可表示为

⑷式，则

00(x1,x2,…,xn)(x1,x2,…,x0n)limf(x1，…，xn)=M 证明：由假设，⑷式成立，首先任意取定1﹥0，则f1（xi,xi1,…,xn），（i=1,2,…,n）00在点（x1,x2,…,x0n）的1空心邻域内有界，即存在K﹥0,使|f1（xi,xi1,…,xn）|

00≤K［|xixi0|﹤1，i=1,2,…,n.（x1，x2，…，xn）≠（x1］ ,x2,…,x0n）00此时，由⑷式得|f(x1，…，xn)﹣M|≤K（|x1x1|+…+|xnxn|），1），当|xixi0|﹤，且（x1，x2，…，xn）

nK00x≠（x1）时，有|f(，…，)﹣M|﹤K（，…，）= x,x2,…,x01nnnKnK任意的﹥0，取=min（从而证明了

00(x1,x2,…,xn)(x1,x2,…,x0n)limf(x1，…，xn)=M

00(x1,x2,…,xn)(x1,x2,…,x0n)定理3 若f(x1，…，xn)为n元多项式，且则f(x1，…，xn)﹣A可表示为

limf(x1，…，xn)=A，00f(x1，…，xn)﹣A=（x1x1）f1(x1，…，xn)+（x2x2）f2(x2，…，xn)+…+0（xnxn）fn(xn)其中f1(x1，…，xn)，f2(x2，…，xn)，…，fn(xn)为多项式。0证明：由定理1多项式f(x1，…，xn)﹣A可表示为f(x1，…，xn)﹣A=（x1x1）00）f2(x2，…，xn)+…+（xnxn）fn(xn)+M f1(x1，…，xn)+（x2x2据定理2，00(x1,x2,…,xn)(x1,x2,…,x0n)lim［f(x1，…，xn)﹣A］=M，又因为

00(x1,x2,…,xn)(x1,x2,…,x0n)limf(x1，…，xn)=A，从而，M=0，即本定理为真。

从以上结果我们就得到了用定义证明多元多项式极限的方法。

三、n元函数极限的计算方法

我们对求一元函数的极限研究的比较多，找到一些十分有效的方法，但对多元函数求极限的方法了解不够多。这里以二元函数为例介绍几种求极限的方法。

1、定义法

通过观察或求方向极限，求出一个数值，然后再用二元函数极限的定义证明该数值介绍二元函数的极限。例1 求(x,y)(0,0)limxy(x2y2)22xy解：当（x，y）沿y轴趋向于（0，0）时，此方向极限为0.下面证明0就是所求的极限值。

xy(x2y2)x2y2因为|﹣0|=xy·2≤xy

x2y2xy2所以任给﹥0，取S=，当x﹤S,y﹤S,（x，y）≠（0，0）时，xy(x2y2)xy(x2y2)有|﹣0|≤xy﹤·=，故lim=0 2222(x,y)(0,0)xyxy2、四则运算法

例2 求解：所以xy

(x,y)(1,2)x2xyy2lim(x,y)(1,2)(x,y)(1,2)lim(xy)3,lim(x2xyy2)3

xy=1.(x,y)(1,2)x2xyy2lim3、迫敛法

例3 求(x,y)(0,0)limx2y2 22xyxy|≤

x2y222xy解：因为当（x，y）≠（0,0）时，有0≤|而lim1(x2y2)12=xy 222xy(x,y)(0,0)1x2y2xy=0，所以lim=0 22(x,y)(0,0)2xy4、利用重要极限法

例4 求解：(x,y)(0,1)limsinxy x(x,y)(0,1)limsinxysinxysinxy=lim（·y）=lim·limy=1·1=1(x,y)(0,1)(x,y)(0,1)(x,y)(0,1)xxyxy5、有理化法

如要求极限的分子或分母中含有根式，将分子或分母有理化，常可解决问题。例5

(x,y)(0,0)limx2y21xy1=22

解：因为x2y21x2y2122(x2y2)(1x2y21)(1x2y2)21lim=1x2y21

而(x,y)(0,0)lim（1xy1）=2，所以

x2y21xy122(x,y)(0,0)=26、等价量代换法

例6

(x,y)(0,0)limsin(x5y5)

xy解：因为当（x，y）（0,0）时，x5y50,，所以sin(x5y5)~x5y5..故 lim(x,y)(0,0)sin(x5y5)x5y5=lim(x,y)(0,0)xyxy=(x,y)(0,0)lim(xy)(x4x3yx2y2xy3y4)

xy=(x,y)(0,0)lim（x4x3yx2y2xy3y4）

=07、取对数法

如要求的极限形如lim(x,y)(x,g)种形式，则通常应用先取对数而后求极限的方法。例7 求(x,y)(0,0)lim(x2y2)x22y

2222解：令Z=(xy)22x2y2x2y22222，则有㏑Z=xylnxy2，xylnxy2xyx2y2=0

x2y21lntt=lim（-t）=0.=limx2y2lnx2y2=limt01t01t02tt由例3结果得(x,y)(0,0)lim又令t=x2y2时，(x,y)(0,0)lim所以(x,y)(0,0)lim㏑Z=0，即

(x,y)(0,0)lim(x2y2)x22y=e0=1.8、设辅助未知法

适当的设辅助未知数，将二元函数转化为一元函数，然后再用一元函数求极限的方法求值。例8 求

10xyexy

x,y-∞,∞lim,y∞时，有t∞解：设x+y=t，则当x∞，所以x,y-∞,∞limxy10exyt10=limte=limt t∞t∞e10t10!10t910xylimlimlim=……==0，即=0 xyettt∞t∞x,y-∞,∞ee9、极坐标换元法

例9 求(x,y)(0,0)limxyxy22

xrcosxy解：设，有r=x2y2,当（x，y）（0，0）时，有r0，又

x2y2yrsin=rcossin，且对任意的，均有sincos≤1，所以(x,y)(0,0)limxyxy22=0.10、转换法

转换法是指将多元函数求极限转化为一元函数求极限的方法.例10 求x,y-∞,∞limx2y2exy

解:因为x2y2exy=(x2ex)ey+y2eyex, 所以x,y-∞,∞limx2y2exy=

x,y-∞,∞lim(x2ex)ey+

x,y-∞,∞limy2eyex

2yxlimx2eylimey+limyelime=0+0=0.x∞x∞y∞y∞以上我们主要介绍了二元函数极限的一些求法,但是,在一般情况下,要求一个二元或更多元函数的极限问题.需综合应用上述各有关方法.参考文献

［1］黄玉民，李成章.数学分析（下册）［M］.北京：科学出版社，1999（南开大学数学教学系列丛书）

［2］郑宪祖，王仲春，蔡伟，田学正，辛发元，刘夫孔，王利民.数学分析（下册）［M］陕西：陕西科学技术出版社，1985 ［3］刘玉琏，吕凤，范德新，王大海.数学分析第二版（下册）［M］.北京：高等教育出版社，1994 ［4］华东师范大学数学系.数学分析（下册）［M］.北京：高等教育出版社，2010 ［5］张天德，孙书荣.华东师大第四版（下册）辅导及习题精解.延边大学出版社 