求参数(变量)的范围_分离变量求参数范围
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——求参数（变量）的范围
冠县第一中学 吴秀萍
函数是中学数学永恒的主题，而构造法又是数学解题中常见的一种方法.构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点而采取相应的解决办法，其基本的方法是：借助一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法.而我们在解决数学问题时，常规的思维方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题，按照这样的思维方式来寻求解题途径比较困难，甚至无从下手.在这种情况下，若启发学生根据题目特点，改变思维方向，换一个角度思考，以找到一条绕过障碍的新途径，从而使问题得解.而构造法就是将所要解决的数学问题具体构造出来，利用相对更为熟悉的模型来表述所要解决的问题.利用构造函数法解题，就是要根据数学问题的条件或结论的特征，以问题中的数学元素为“元件”，数学关系为“框架”构造出新的数学对象或数学模型，从而使问题转化并得到简便解决的方法.构造法的基本形式是：以已知条件为原料，以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使问题在这种形势下得到解决.但在构造思维的过程中，常常要伴随观察、分析、综合、联想、猜想等思维活动，它要求构造者有敏锐的观察力、独特的知识结构及活跃的思维.运用构造法解题的关键是：（1）要有明确的方向，即要明确为了解决什么问题而进行相应的构造；（2）要弄清问题的本质特点，以便重新进行逻辑整合。无论采用什么方法构造，它们的共同特点是：创造性的使用已知条件，创造性的应用数学知识，极大限度地发散思维.本文针对一些非函数中的参数（或变量）的范围来探求问题，通过观察、分析题设结构和隐含信息，依托创造性思维构造一种相依的辅助函数，再利用函数的有关性质，使问题化难为易，驭繁为简，简捷巧解，现例说如下：
例1 已知不等式对上恒成立，求实数的取值范围.分析：本题表面上看是关于的不等式问题，但如果换一个角度来考虑，由于上变化，我们则可以通过构造函数把看做是的函数，而此时是关于的一次函数，原命题的陈述方式改变为：关于的一次函数，当自变量上变化时，恒大于零，求字母的取值范围.解析：构造函数，则是一次函数，当时，恒成立，所以，即，解得或.所以或，所以满足题意的取值范围是.点评：注意到本题有两个变量、，且本来为主元，但为了解题方便，把原不等式看做的一次函数，大大简化了运算.在多字母的关系式中，应对参数的策略常常是“反客为主、变更主元”，从而揭示其中主要的函数关系，重新构造函数，已达到解题的目的.例2 已知不等式 对一切大于1的自然数都成立，求实数的取值范围.分析：不等式左边是关于自然数的代数式，而右边是关于字母的代数式，若不等式对一切大于1的自然数都成立，只需不等式右边恒小于左边最小值即可.通过构造关于的分式函数，利用函数单调性以求得函数最小值.解析：构造分式函数，由，知为增函数，其最小值为.故只须成立，解得.点评：本题中出现了自然数n，将分立的自然数n看成函数自变量是解决此类问题的重要方法之一.构造函数的目的在于将不等式的一端或两端值转化为以参数为变量的函数值，进而运用函数的性质——值域、单调性、奇偶性等来解决不等问题.除了不等式外，自然数n更多的出现在数列问题中，数列实际上是一列特殊的函数值，因此有许多与自然数有关的问题从函数的角度去处理有较好的效果.例3 在数列中，.若对任意的整数恒成立，求实数的取值范围.分析：本题利用已知条件可易求得数列的通项，代入不等式，通过整理，可分离出参数，而不等式另一端为含的代数式，从而可构造函数，求函数的最小值问题.解析：因为，所以由 得（），故数列是以为首项，3为公差的等差数列.所以，所以.将代入 并整理得，所以，原命题等价于该式对任意的整数恒成立.构造函数，则，所以，即函数是递增的函数，所以当时，的最小值为.故实数的取值范围是.点评：解答本题的关键是建立目标函数，而采用函数的思想，用研究函数单调性的方法研究数列的单调性，求出的最小值，结合不等式恒成立，进一步用函数与方程思想分析突破.因此函数不仅可以解决方程，不等式的问题，也可以解决数列的问题.以上几例若直接入手，难以解决.但根据题目的特点，构造函数，就可以使问题快速解决.构造函数具有较强的灵活性和创新性，在数学解题时，通过观察题目的特点,发现条件中的关系, 结合所学函数知识以及数学问题所处的背景，灵活构造，构造出符合题目特点的函数, 必会事半功倍，收到意想不到的效果.运用构造法解题，不仅能提高学生的解题能力，更重要的是通过这种解题方法的运用可丰富学生的想象力；发挥学生的主观作用，激发学习兴趣；培养学生的创造意识和创新思维.其实创新思维是整个创新活动的关键，敏锐的观察力，创造性的想象，独特的知识结构及活跃的灵感是其基本特征.而构造法正是从这方面训练学生的思维，使学生的思维由单一型转变为多角度，变得积极、灵活、自如，从而培养学生的创新思维能力.
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