极限理论中的几个重要问题_极限是一个重要的概念

2020-02-28 其他范文下载本文

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极限理论中的几个重要问题

【摘要】本文对极限理论中的无穷小量、无界量、发散量、无穷大量等重要概念进行了分析比较，分析了数列极限和函数极限之间联系的归并原理，并都通过具体的例子予以说明.【关键词】一元函数；数列极限；函数极限

在数列极限和函数极限教学中，学生经常对相关极限理论中的一些概念和定理的理解存在一定的问题，本文将从对无穷小量、无界量、发散量、无穷大量以及归并原理等几个方面予以说明.一、无穷小量

1.无穷小量在微积分中的重要地位和作用

无穷小量等价代换是求极限的一种重要方法，且与极限的密切关系，例如：

lim n→∞ xn=axn-a是当n→∞时的无穷小；lim x→x0 f（x）=af（x）-a是当x→x0是当时的无穷小.此外，无穷小分析是贯穿于微积分的一种重要的思想方法.例如：

1° 可导函数的导数f′（x）=lim Δx→0 f（x+Δx）-f（x）Δx 实际上就是Δx→0时两个无穷小量f（x+Δx）-f（x）与Δx之比的极限；

2° 可导函数y=f（x）的微分dy=AΔx=f′（x）Δx就是当Δx→0时的无穷小量，它与函数的改变量Δy之差是Δx的高阶无穷小，即Δy-dy=ο（Δx）当dy≠0时，dy与Δy是当Δx→0时的等价无穷小；

3° 定积分∫baf（x）dx=lim λ→0 ∑ n k=1 f（ξk）Δxk是当λ→0时的无穷多个无穷小之和，是无穷小的无限累加；

4° 收敛级数∑ ∞ n=1 an的通项an是当n→∞时的无穷小，判别∑ ∞ n=1 an的收敛性

首先应分析an是否为无穷小.若an不是当n→∞时的无穷小，则级数∑ ∞ n=1 an发散，否则可用比较准则判别其敛散性，由此知判别级数∑ ∞ n=1 an的敛散性的关键在于先分析无穷小量an的阶.2.关于无穷小量的阶

1° 无穷小量的阶是用来刻画无穷小量趋于零的“速度”的吗？

例当x→0时，x2与x都是无穷小，并且前者是后者的高阶（二阶）无穷小.试问当x→0时，x2比x趋于0的“速度”大吗？我们知道，“速度”可用导数来刻画，并且

（x2）′=2x，（x）′=1.易见，无穷小量β（x）趋于0的速度是常数1，而x2趋于0的速度为2x，当|x|

2° 对无穷小量α（x）与β（x）的阶进行比较的前提条件是分母β（x）无零点（即β（x）≠0.）

例下列运算是否正确：

lim x→0 sin x2sin 1 x x =lim x→0 x2sin 1 x x =lim x→0 xsin 1 x =0.错在第一个等式用了无穷小等价代换，由于β（x）=x2sin 1 x 在x=0的任何邻域内部有零点xn= 1 nπ，因此，不能说sin x2sin 1 x 与x2sin 1 x 是当x→0时的等价无穷小.正确解法：当x≠0时，sin x2sin 1 x x ≤ |x2sin 1 x | x ≤|x|→0（x→0）.进而，也不能说，β（x）=x2sin 1 x 是当x→0时的二阶无穷小，只能说它是当x→0时x的高阶无穷小.3° 无穷多个无穷小的乘积不一定是无穷小.反例：

1，1 2，1 3，1 4，…，1 n，…1 2 1 3 1 4，…，1 n，…1 1 32 1 4，…，1 n，…1 1 1 43 …，1 n，…… … … 乘积为数列1，1，…，1，….二、无界量、发散量、无穷大量之间的关系（以数列为例）

无界数列是指对数列{xn}：M>0，至少存在其中一项xn0，使|xn0|>M；

而称不收敛的数列为发散数列；数列{xn}为无穷大数列是指对M>0，N∈N+，当n>N时，恒有|xn|>M.三者关系图如下：

也就是说：

（1）若{xn}无界，则{xn}必发散；反之不必成立；

（2）若{xn}为无穷大数列，则{xn}必无界；反之不必成立；

若{xn}为无穷大数列，则{xn}必为发散数列；反之不一定成立

定理数列无界存在一个无穷大的子列.证显然.若{xn}无界，则根据数列无界的定义（注意：无界数列删去前有限项仍为无界数列）

三、归并原理

1.数列极限的归并原理

数列{an}收敛于a它的每个子列都收敛于a.它建立了数列{an}（整体）与它的子列 ank（部分）收敛性之间的密切联系，为判断数列不收敛提供了一个简洁的方法.虽然很难用该原理来判断数列的收敛性，但在某些特殊情况下却提供了用子列的收敛性来判断整个数列收敛性的方法.例如下面的定理

定理数列{an}收敛于a它的偶数项组成的子列 a2k 与奇数项组成的子列{a2k+1}都收敛于a（判别交错级数收敛的准则的证明中要用！）