上海高中数学数列的极限_上海高中数列极限

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7.6

数列的极限

课标解读：

1、理解数列极限的意义；

2、掌握数列极限的四则运算法则。

目标分解：

1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列限地趋近于某个常数注：

an的项an无a(即|anna|无限地接近于0)，那么就说数列an以a为极限。

a不一定是a中的项。

1lim0limCCnn2、几个常用的极限：①n(C为常数)；②；③limqn0(|q|1)n；

3、数列极限的四则运算法则：设数列an、bn，当limanan，limbnbn时，nlimlim(anbn)ab；

lim(anbn)abnana(b0)nbbn；

4、两个重要极限：

①c001limc1c0nn不存在c0

|r|10nlimr1r1 ②n不存在|r|1或r1 问题解析：

一、求极限：

例1：求下列极限：

2(1)lim4nn1lim3n3nn2n23

(2)

n2n4n(3)

nlim(n2nn)

例2：求下列极限：(1)nlim(1n24n273n2n2n2)；

(2)lim1n[2515818111(3n1)(3n2)]

例3：求下式的极限：

limcosnsinnncosnsinn,(0,2)

二、极限中的分数讨论：

例4：已知数列an是由正数构成的数列，a13，lganlgan1lgc，其中n是大于1的整数，c是正数。

(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn；

且满足2n1an(2)求lim的值。n2nan1

三、极限的应用：

1(1)p1n例5：已知p、q是两个不相等的正整数，且q2，求lim的值。

n1q(1)1n

知识内化：

1、limn2__________________。

n12n113n2lim[]______________。

2、nn(n1)n(n1)n(n1)2n1n3n___________________。

3、limn1n1n2n34、下列四个命题中正确的是（）

2A、若limanA，则limanA

nn2B、若an0，limanA，则A0

n2C、若limanA，则limanA

n2nnnD、若lim(ab)0，则limanlimbn

nnnq，q1，5、已知数列an、公比分别为p、其中pq且p1，bn都是由正数组成的等比数列，设cnanbn，Sn为数列cn的前n项和，求lim

能力迁移：

Sn。

nSn11、数列an、bn都是无穷等差数列，其中a13，b12，b2是a2与a3的等差中项，且liman1111)的值。，求极限lim(nnba1b1a2b2anbn2n

基本练习：

一、填空题：

n22n___________________。

1.limnb2n23 2.若lim(2x1)的极限存在，则实数x的取值范围__________________。

nnn21anb)1，则a=______________，b=____________________。

3.lim(nn1 4.数列an中，a13，且对任意大于1的正整数n，点(an,则liman1)在直线xy30上，an__________________。

n(n1)2f(n2)5.已知f(n)12n，则lim__________________。

n[f(n)]2ann2 6.数列an的公差d是2，前n项的和为Sn，则lim_________________。

nSn 7.设数列an、bn都是公差不为0的等差数列，且lim ______________________。

anbb2b2n等于 2，则lim1nbnna3nnn3n18、将lim，则实数x的取值范围是__________________。nn(x2)nn3n13n39、已知数列an： 112123129，…，那么数列，，，…，2334441010101的所有项的和为________________。anan1

10、已知等比数列an的首项a1，公比q，且有lim(na11qn)，则首项a1的取值范围 1q2 是__________________。

二、选择题

bn2can2c3，则lim211、已知a、b、c是实常数，且lim2的值是（）

ncnbncna A、2 B、3

C、1

2D、6 1,1n100012、a中，annn2，则数列an的极限值（）n2 n22n,n1001 A、等于0

B、等于1

C、等于0或1 13、1111nlim[n(13)(14)(15)(1n2)]等于（）A、0 B、1

C、2

D、3

14、已知lim2nann2nan1，aR，则a的取值范围是（）A、a0 B、a2，a2

C、2a2

a2

三、解答题

15、已知等差数列前三项为a、4、3a，前n项和为Sn，Sk2550

(1)求a及k的值；(2)求lim11n(S1)1S2Sn16、曲线C:xy1(x0)与直线l:yx相交于A1，作A1B1l交x辆于B1，作B1A2//l交曲线C于A2……依此类推。

D、不存在D、a2且(1)求点A1，A2，A3和B1，B2，B3的坐标；(2)猜想An的坐标，并加以证明；(3)求lim |BnBn1|

nBBn1n17、已知数列{an}满足(n1)an1(n1)(an1)且a26，设bnann(nN)(1)求{bn}的通项公式；(2)求lim(n 1111)的值。b22b32b42bn23(an1)(nN)。数列{bn}的通项公式为bn4n3(nN)2Tn

18、设Tn为数列{an}前n项的和，(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若c{a1,a2,a3,an,}{b1,b2,b3,bn,}，则c称为数列{an}，{bn}的公共项，将数列{an}与{bn}的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列，证明：数列{cn}的通项公式为cn32n1(nN)；(3)设数列{cn}中的第n项是数列{bn}中的第m项，Bm为数列{bn}前m项的和；Dn为数列{cn}前n项的和，且AnBmDn；求：lim

An。

n(a)4n