第五章大数定律和中心极限定理_第5章中心极限定理

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第五章大数定律和中心极限定理

考试内容

切贝雪夫（Chebyshev）不等式 切比雪夫大数定律 伯努利大数定律 辛钦（Khinchine）大数定律 棣莫弗－拉普拉斯（De Moivre－Laplace）定理 列维－林德伯格（Levy－Lindbreg）定理

考试要求

1.了解切比雪夫不等式．

2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）。

3.了解棣莫弗一拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维一林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）．

重点内容

切比贝夫不等式及其应用，列维一林德伯格中心极限定理及其应用，其余大数定律与中心极限定理。

特别注意切贝雪夫大数定律，伯努利大数定律和辛钦大数定律这三个大数定律成立的条件的异同；注意区分两个中心极限定理。

一、主要内容讲解

1、切贝雪夫不等式设随机变量X的方差存在，则对0，都有P{XEX}DX

2或P{XEX}1DX

22、依概率收敛设有随机变量序列X1,X2,,Xn„和随机变量X〔可以是常数〕，如果对0，满足 limP(XnX)1 n

X(n).则称Xn依概率收敛于X.记作XnP

注意：依概率收敛与函数极限的收敛是不同的；概率是频率的稳定值表达的就是一种依概率收敛关系.3、大数定律X〔随机变量的均值→期望的均值，→依概率收敛〕

切贝雪夫大数定律：设随机变量X1,X2,,Xn„相互独立，均具有有限方差，且有公共上界，即D(Xi)C(i=1,2,„),则对于任意的正数，有

1limPnn



n



i

1Xi

1n

n



i1



E(Xi)1.

特殊情形：若X1,X2,,Xn„具有相同的数学期望E(Xi)，则上式成为

n

1limPnn





i1



Xi1.

伯努利大数定律：设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有



limPp1.nn

伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较

大判别的可能性很小，即

limPp0.nn

这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。〔切比雪夫大数定律的特殊情形〕

注：如果用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，p(0

limP{

n

Xn

p}1

辛钦大数定律：设X1,X2,,Xn，„是相互独立同分布的随机变量序列，且

E(Xi)，则对于任意的正数ε有

n

1

limPnn





i1



Xi1.

EX|2}

2例5.1：设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{|X

例5.2：设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式有估计P{|XY|6}

112

例5.3：设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n时,Yn

n

2i

n

n

Xi

依概率收敛于。

i1

分析：n时,Yn

X

n

i12



E(X)，n

2i

i1

n

E(Xi)D(Xi)(EXi)



（)

例5.4：设X1,X2,,Xn，„相互独立同分布，且EXi0，则

nlimPXinn

i1

n

n1limPXinlimP

分析：ni1nn

[1,EXi0]



i1

1

Xi1limP

nn

n



i1



Xi011



n

注：事实上，对0，都有limPXin1.n

i1

例5.5：设X1,X2,,Xn，„是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n的指数分布（n=1,2, „），则下列中不服从切比雪夫大数定律的随机变量序列是：（A）X1,X2,,Xn，„；（B）X1,22X2,,n2Xn，„〔 B 〕（C）X1,X2/2,,Xn/n，„；（D）X1,2X2,,nXn，„ 分析：E(n2Xn)n2

1n

n,D(nXn)n

1n

n(n)

注：也不服从辛钦大数定律〔不同分布〕。

4、中心极限定理XN(,

n)[→极限分布]

列维－林德伯格定理：设随机变量X1,X2,,Xn„相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：E(Xk),D(Xk)变量

0(k1,2,)，则随机

n



Yn

k

1X

k

n

n的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有

n

Xnkk1

limFn(x)limPxnn

n



t

12



x



e



dt.此定理也称为独立同分布的中心极限定理。

n

注：即Xk

k1

N(n,n

，再标准化得到标准正态分布。)（近似服从正态分布）

棣莫弗－拉普拉斯定理：设随机变量Xn为具有参数n,p(0p1)的二项分布，则对于任意实数x,有

limFn(x)limPnn



x

Xnp

1x

e



t

dt

注：即二项分布的极限分布是正态分布N(np,npq)，再标准化得到N(0,1).【评注】棣莫弗－拉普拉斯定理是列维－林德伯格定理的特殊情形〔二项分布是独立的服从0-1分布的随机变量之和〕。

例5.6：一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。解：令Xi――第i箱的重量，XX1Xn.P(X5000)0.977,XN(50,25n)

P(X

5000n)0.977

.5000

由50

0.977

500050

2n98.例5.7：设X1,X2,,Xn，„是相互独立的随机变量序列，在下面条件下，X12，X

22，„，Xn2，„满足列维－林德伯格中心极限定理的是： 〔A〕

（A）P{Xim}pmq1m,m0,1；

x

（B）P{Xix}



(1t

cm)；

（C）P{Xim}

2,m1,2,，常数c2

m1m

1



；

（D）Xi服从参数为i的指数分布。

分析：（A）Xi01分布，Xi01分布.期望、方差都存在。

（B）柯西分布，期望不存在。（C）EXi不存在〔m（D）不同分布。

5、二项定理：若当N时,CMCNM

C

M

Nk

nk

Cm

不绝对收敛〕E(Xi2)不存在。

MN

p(n,k不变)，则

Cnp(1p)

kknk

(N).即超几何分布的极限分布为二项分布。

例5.8：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：1。今任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的(A)154倍(B)254倍(C)798倍(D)1024倍

解：记“任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球”为A,30230120C50()()

P(甲）P(AP(AP(甲A)P(甲，A)1024.21P(乙A)P(乙，A)P(乙)P(A(A302030

C50()()

336、泊松定理：若当n时,np0，则

Cp(1p)

kn

knk





k

k!

e



(n).其中k=0，1，2，„，n，„。二项分布的极限分布为泊松分布。

注：由中心极限定理知：二项分布的极限分布亦为正态分布.历年试题分析：

（02，3分）设随机变量X1,X2,,Xn相互独立，SnX1X2Xn，则根据列维-林德伯格（Levy-Lindberg）中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1,X2,,Xn（A）有相同的数学期望。（C）服从同一指数分布。

[C ]

注：(D)不能确定有无期望、方差.（03，4分）设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n时，Yn



i

（B）有相同的方差。（D）服从同一离散型分布。

X依概率收敛于n

i1。

（05，4分）设X1,X2,,Xn,为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为

1的指数分布，记x为标准正态分布函数，则（C）

nn

XnXniii1i1

xx（B）limPxx（A）limP

nn

nnnnXnXii

i1i1

xx xx（D）limP（C）limP

nn

nn



分析：XiExp(),EXi

,DXi

,

XiN（n

,n)(n).再标准化即得.6