7.1多元函数的概念、极限与连续性_多元函数极限及连续性

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§7.1多元函数的概念、极限与连续性

一．多元函数的基本概念 1.引例

在自然科学和工程技术中常常遇到一个变量依赖于多个自变量的函数关系，比如：

例1矩形面积S与边长x，宽y有下列依从关系：

Sxy(x0,y0)．

其中，长x与宽y是独立取值的两个变量．在它们变化范围内，当x，y取定值后，矩形面积S有一个确定值与之对应．

例2在第7章中我们学习了曲面的方程，例如椭圆抛物面的方程为：x2y2x2y2z22，双曲抛物面的方程为z22，这里的z坐标既跟x有关，又跟ababy有关，它是x，y的二元函数.2.多元函数的概念

定义1设D是R2的一个非空子集，映射f ：DR称为定义在D上的二元函数，记为

zf(x，y)(x，y)D(或zf(P)PD)其中，点集D称为该函数的定义域，x，y称为自变量，z称为因变量.上述定义中，与自变量x、y的一对值(x，y)相对应的因变量z的值，也称为f 在点(x y)处的函数值，记作f(x，y)，即zf(xy).函数f(x，y)值域：f(D){z|zf(x，y)，(x，y)D}.函数的其它符号zz(x，y)，zg(x，y)等.类似地可定义三元函数uf(x y z)，(x y z)D以及三元以上的函数.一般地，把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D 映射f ：DR称为定义在D上的n元函数，通常记为uf(x1，x2，...，xn)，(x1，x2，...，xn)D，或简记为uf(x)，x(x1，x2，...，xn)D，也可记为uf(P)，P(x1，x2，...，xn)D.关于函数定义域的约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数uf(x)时，就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域.因而，对这类函数它的定义域不再特别标出.例如：

函数zln(xy)的定义域为{(x，y)|xy>0}(无界开区域) 函数zarcsin(x2y2)的定义域为{(x，y)|x2y21}(有界闭区域)

二元函数的图形点集{(x，y，z)|zf(x，y)，(x，y)D}称为二元函数zf(x，y)的图形，由第6章的学习知，二元函数的图形是一张曲面.例如zaxbyc是一张平面，而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面.例1求二元函数z9x2y2的定义域． 解 容易看出，当且仅当自变量x，y满足不等式

x2y29, 函数z才有定义．其几何表示是xOy平面上以原点为圆心，半径为3的圆内及圆周边界上点的全体，如图7.1.1所示．即函数z的定义域为

x2y29．

图7.1.1 图7.1.2

例2求函数zln(xy)的定义域．

解 函数的定义域为xy0，其几何图形是xOy平面上位于直线yx上方的半平面，而不包括直线的阴影部分，如图7.1.2所示．

x2y2arcsec(x2y2)的定义域． 例3求函数zarcsin2解 函数z是两个函数的和，其定义域应是这两个函数的定义域的公共部分．函数的定义域由不等式组

22xy2 22xy1构成，即1x2y22．

定义域的图形是圆环（包括边界），如图7.1.3所示．

图7.1.3 图7.1.4

例5求函数z11xy22的定义域．

解 函数的定义域为

1(x2y2)0，即x2y21.它的图形是不包括边界的单位圆，如图7.1.4所示． 二多元函数的极限

与一元函数的极限概念类似，如果在P(x，y)P0(x0，y0)的过程中，对应的函数值f(x，y)无限接近于一个确定的常数A，则称A是函数f(x，y)当(x，y)(x0，y0)时的极限

定义2设二元函数f(P)f(xy)的定义域为D，P0(x0，y0)是D的聚点.如果存

(,)DUP(,)0时，在常数A，使得对于任意给定的正数，总存在正数，当Pxy总有

|f(P)A||f(xy)A|

成立，则称常数A为函数f(x，y)当(x，y)(x0，y0)时的极限，记为

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A，或f(x，y)A((x，y)(x0，y0)也可简记为

PP0limf(P)A或f(P)A(PP0)上面定义的极限也称为二重极限.定义用两个正数，和相关距离对极限过程做出了精确描述，这种描述通常称为—语言，该语言可以用来验证某个常数是函数在相关过程中的极限.极限概念的推广：在定义2中将P(x，y)改为P(x1，x2，…，xn)即可得到n元函数的极限.多元函数的极限运算法则与一元函数的运算法则类似.例5 设f(x,y)(x2y2)sin证 因为

|f(x,y)0||(x2y2)sin10| |x2y2||sin1| x2y2，x2y2x2y21，求证limf(x,y)0

(x,y)(0,0)x2y2可见 >0，取，则当

0(x0)2(y0)2 即P(x,y)DU(O,)时，总有

|f(xy)0|，因此(x,y)(0,0)limf(x,y)0

sin(x2y).例6求极限limx0x2y2y0sin(x2y)sin(x2y)x2ylim22,令u=x2y，则 解 lim222x0xyx0xyxyy0y0x2ysinu1sin(x2y)12xylimx1,lim=而x22222x0u0xyu2xy2xyy0x00,sin(x2y)0.所以limx0x2y2y0例7证明limxy不存在.x0x2y2y0证取ykx(k为常数)，则 limx0y0xyxkxklim,x2y2x0x2k2x21k2ykx易见，所要求的极限值随k的变化而变化，故limx3y例8证明lim6不存在.x0xy2y0xy不存在.x0x2y2y0kx3yx3kx3,其极限值随k的不同而变证取ykx,lim6limx0xy2x0x6k2x61k233y0ykx化，故极限不存在.例9证明lim(1xy)x0y01xy极限不存在.证取xn0,ynlim(1xnyn)n1xnyn1(n为自然数)，则当n时，yn0,且 nlim(10)n101/n1.11,则当n时，xn0,yn0,且 取xn,ynnn1lim(1xnyn)n1xnyn1lim1nn(n1)n(n1)1, e1xy因为对于不同的子列，所求得的极限的值不同，故lim(1xy)x0y0不存在.三多元函数的连续性 1.多元函数连续性概念

定义3设二元函数f(P)f(x，y)的定义域为D（1）P0(x0，y0)为D的聚点且P0D.如果

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)f(x0,y0)，则称函数f(x，y)在点P0(x0，y0)连续.（2）设D内的每一点都是D的聚点，如果函数f(x，y)在D的每一点都连续 则称函数f(x，y)在D上连续 或称f(x，y)是D上的连续函数.二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去.一元基本初等函数可看成其中一个自变量不出现的二元函数，很容易证明，把一元基本初等函数看成二元函数时它们都是连续的.例10 设f(x，y)cosx，证明f(x y)是R2上的连续函数.证 对于任意的P0(x0，y0)R2，因为

(x,y)(x0,y0)limf(x,y)(x,y)(x0,y0)limcosxcosx0f(x0,y0)

所以，函数f(x，y)cosx在点P0(x0，y0)连续，由P0的任意性知 cosx作为x y的二元函数在R2上连续.类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时，它们在各自的定义域内都是连续的.定义4设函数f(xy)的定义域为D P0(x0y0)是D的聚点.如果函数f(xy)在点P0(x0y0)不连续 则称P0(x0，y0)为函数f(xy)的间断点.注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数，连续函数的商在分母不为零处的点仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续函数.多元初等函数 与一元初等函数类似，多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.xx2y2x2y2z2例如 cos(xy+z)都是多元初等函数.e1y2一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数f(P)在点P0处的极限 而该点又在此函数的定义区域内 则

pp0limf(P)f(P0)

例11讨论二元函数

x3y3,(x,y)(0,0)f(x,y)x2y2

0,(x,y)(0,0)在(0,0)处的连续性.解由f(x,y)表达式的特征，利用极坐标变换：令

xcos,ysin,则

(x,y)(0,0)limf(x,y)lim(sin3cos3)0f(0,0),0所以函数在(0,0)点处连续.y例12求极限limln(yx).x021xy1y1解 limln(yx)ln(10)1.x021x10y1exy.例13求limx0xyy1exye01exy2.解 因初等函数f(x,y)在(0,1)处连续，故 limx0xy01xyy12.多元连续函数的性质

性质1(有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界且在D上取得它的最大值和最小值.性质1表明：若f(P)在有界闭区域D上连续，则必存在常数M0，使得对一切PD，有|f(P)|M，且存在P1、P2D，使得

f(P1)max{f(P)|PD}，f(P2)min{f(P)|PD}

性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.问题讨论：

1.若点(x,y)沿着无数多条平面曲线趋向于点(x0,y0)时，函数f(x,y)都趋向于A，能否断定2.讨论函数

xy2,x2y2024f(x,y)xy

20,xy20(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A?的连续性.3.你能否用—语言证明

sin(x2y)lim220.x0xyy0

本节引入了多元函数概念，给出了多元函数极限的定义和计算方法，通过例题介绍了根据定义证明极限存在（即-语言）和不存在（沿不同方向或取不同子列得不同值）的方法，最后讨论了多元连续函数，给出了定义和它的基本性质.习题7.1 y1.设fxy,x2y2,求f(x,y).xx22已知函数f(x,y)xyxycot2，试求f(tx，ty).y3求下列各函数的定义域(1)zln(y25xy1)(2)z11 22xyxyxy(3)z(4)uR2x2y2z21(Rr0)

2222xyzr(5)uarcsinzxy22

4 求下列各极限

1x2y(1)lim(x,y)(0,3)x3y3(2)limln(yex)xy22(x,y)(1,1)(3)2xy4 xy(x,y)(0,0)limlimxy

xy11(4)(5)(x,y)(0,0)sin(xy)

(x,y)(0,2)xlim1cos(x2y2)(6)lim22(x,y)(0,0)(x2y2)exy5证明下列极限不存在(1)xy

(x,y)(0,0)xylim(2)xy

(x,y)(0,0)xyxylimeyax6函数z（a为常数）在何处间断？

y2x7用 - 语言证明

(x,y)(0,0)limxy0 22xy