数学分析续论A卷复习资料_数学分析复习资料

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数学分析续论A卷复习资料

一.计算题

1.求函数f(x,y)3xsin解： f(x,y)3131ysin在点(0,0)处的二次极限与二重极限.yx131ysin3x3y，因此二重极限为0.yx1111因为lim3xsin3ysin与lim3xsin3ysin均不存在，x0yxy0yx故二次极限均不存在。xsin

yy(x),zxf(xy),2.设 是由方程组所确定的隐函数,其中f和F分别

zz(x)F(x,y,z)0dz具有连续的导数和偏导数,求.dx

3.取,为新自变量及ww(,v)为新函数，变换方程 2z2zzz。x2xyxxyxy,,wzey（假设出现的导数皆连续）.设22解：z看成是x,y的复合函数如下：

wxyxyzy,ww(,),,。

e22代人原方程，并将x,y,z变换为,,w。整理得：

2w2w 22w。



4.要做一个容积为1m3的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为r,高为h,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中

目标函数: S表2rh2r2, 约束条件: r2h1。

构造Lagrange函数：F(r,h,)2rh2r2(r2h1)。

Fr2h4r2rh0,令  2F2rr0.h14 解得h2r，故有r3,h3.由题意知问题的最小值必存在，当底面半

2径为r3 14,高为h3时，制作圆桶用料最省。2y325.设F(y)exydx,计算F(y).y2解：由含参积分的求导公式

y3y322x2yF(y)2edx2x2exydx3y2exyyyy 2x2exydx3y2ey2yey

yy3275xy32yex2yxy2

72y75y51y3x2y yeyeedx。2y222y

x2y2xy6.求曲线222所围的面积，其中常数a,b,c0.bcaxacos,解：利用坐标变换 由于xy0，则图象在第一三象限，从而可

ybsin.以利用对称性，只需求第一象限内的面积。

ab,0,0sincos。22c则

2V2ab2sincosd20c

22ab 22c.7.计算曲线积分3zdx5xdy,其中L是圆柱面x2y21与平面2ydzL22(x,y)dd22d0(,)1ab22sincosc0abd

zy3的交线（为一椭圆），从z轴的正向看去，是逆时针方向.解： 取平面zy3上由曲线L所围的部分作为Stokes公式中的曲面，定向为上侧，则的法向量为

11 cos,cos,cos0,,。

22由Stokes公式得

coscoscos 3zdx5xdy2ydzLx3zy5xdS z2y 2dS

 2x2y212dxdy

2

x2y2z28.计算积分yzdzdx,S为椭球2221的上半部分的下侧.abcS二.证明题

xy3,249.讨论函数f(x)xy0,x2y20x2y20在原点(0,0)处的连续性、可偏导性和可微性.10.设Fx,y满足：（1）在Dx,yxx0a,yy0b上连续，（2）Fx0,y00，（3）当x固定时，函数Fx,y是y的严格单减函数。试证：存在0，使得在xxx0上通过Fx,y0定义了一个

函数yy(x)，且yy(x)在上连续。

证明：（i）先证隐函数的存在性。

由条件（3）知，Fx0,y在y0b,y0b上是y的严格单减函数，而由条件（2）知Fx0,y00，从而由函数Fx0,y的连续性得

Fx0,y0b0，Fx0,y0b0。

现考虑一元连续函数Fx,y0b。由于Fx0,y0b0，则必存在10使得

Fx,y0b0，xO(x0,1)。

同理，则必存在20使得

Fx,y0b0，xO(x0,2)。

取min(1,2)，则在邻域O(x0,)内同时成立

Fx,y0b0，Fx,y0b0。于是，对邻域O(x0,)内的任意一点x，都成立

固定此x，考虑一元连续函数Fx,y。由上式和函数Fx,y关于y的连续性可知，存在Fx,y的零点yyb,yb使得

Fx,y＝0。

而Fx,y关于y严格单减，从而使Fx,y＝0的y是唯一的。再由x的任意性，Fx,y0b0，Fx,y0b0。

00证明了对:O(x0,)内任意一点，总能从Fx,y0找到唯一确定的y与x相对应，即存在函数关系f:xy或yf(x)。此证明了隐函数的存在性。（ii）下证隐函数yf(x)的连续性。

设x*是:O(x0,)内的任意一点，记y*:fx*。对任意给定的0，作两平行线

yy*，yy*。由上述证明知

Fx*,y*0，Fx*,y*0。由Fx,y的连续性，必存在x*的邻域O(x*,)使得

Fx,y*0，Fx,y*0，xO(x*,)。

对任意的xO(x*,)，固定此x并考虑y的函数Fx,y，它关于y严格单减且

Fx,y*0，Fx,y*0。于是在y*,y*内存在唯一的一个零点y使

Fx,y0，即 对任意的xO(x*,)，它对应的函数值y满足yy*。这证明了函数yf(x)是连续的。