线性代数 试卷_线性代数试卷a答案

线性代数 试卷由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“线性代数试卷a答案”。

浙江大学2008-2009学年秋冬学期 《线性代数I》课程期末考试试卷及参考答案

2x11．解线性方程组x1x15x22x24x24x3x36x3x4x42x4x5x5x535。10解：略。

2．线性变换T:22的定义是

T(x,y)(3xy,x3y).设B{(1,1),(1,1)},B{(2,4),(3,1)}。（a）证明B,B是2的两组基。

（b）给出T关于基B的矩阵表示A和T关于基B的矩阵表示A。（c）求矩阵Q使AQ1AQ。

（a）证明：先证明B线性无关（略）。因为B所含的向量个数2dim2，所以B是2的一组基。B类似可证。

（b）解：由定义即可（略）。

（c）解：矩阵Q是基B到基B的过渡矩阵，由定义求之即可。

00103．设矩阵A0100n2。解：

0a100a200a3。求行列式AtI，其中I是n阶单位阵，01an0t1AtI00000t000000000ta1a2a31tan101tan0000tnantn1a2ta1tn1antn2a3ta2tn2antn3a4ta3t2antan1tanRn1tRn100Rn2tRn1010R1tR20000

0001tnantn1a2ta14．令V为由全部在闭区间[0,1]上连续的实函数构成的集合，即

V{f:[0,1]|f连续}（a）给出V的向量加法和数乘法使V成为线性空间。（b）证明(f,g)f(x)g(x)dx是V的内积。

01（a）解：对f,gV,，定义

fg:[0,1]f(x)g(x)，f:x[0,1]x(f(x))验证上面定义的加法和数乘法使V成为线性空间。（b）证明：对f,g,hV,，有

(f,g)f(x)g(x)dxg(x)f(x)dx(g,f);0011(f,g)f(x)g(x)dxf(x)g(x)dx(f,g);0011(fg,h)(f(x)g(x))h(x)dxf(x)h(x)dxg(x)h(x)dx(f,h)(g,h);000111(f,f)f2(x)dx001所以(f,g)f(x)g(x)dx是V的内积。

015．设映射D:[x]5[x]5用D(f)f来定义，其中f是f的导数。（a）证明D是线性变换。

（b）给出D的核，他的一组基和维数。（c）给出D的像，他的一组基和维数。（a）证明：对

fa0a1xa2x2a3x3a4x4,gb0b1xb2x2b3x3b4x4[x]5,，有

D(fg)D((a0b0)(a1b1)x(a2b2)x2(a3b3)x3(a4b4)x4)(a1b1)2(a2b2)x3(a3b3)x24(a4b4)x3D(f)D(g),D(f)D(a0a1xa2xa3xa4x)a12a2x3a3x24a4x3D(f)所以D是线性变换。

234

（b）D的核kerD，f1是他的一组基，他的维数dimkerD1。（c）D的像ImD[x]4，1,x,x2,x3是他的一组基，他的维数dimImD4。

1126．判断实矩阵A121是否可对角化。若A可对角化，求矩阵Q使Q1AQ013是对角矩阵D，并给出矩阵Q1和D。解：略。

27．实二次型f:2的定义是f(x1,x2)2x125x24x1x2。

（a）给出对应于f的实对称矩阵A。

（b）给出A在相合（即合同）意义下的标准形（或规范形）。

（c）给出f的正惯性指数和负惯性指数，并判断f是否正定或者负定。解：略。

8．设,是线性变换T:VV的两个互异的特征值，v和w分别是属于和的特征向量。如果avbw是T的特征向量，证明a0或者b0。证明：因为avbw是T的特征向量，所以存在T的特征值使得T(avbw)(avbw)。因为v和w分别是属于和的特征向量，所以avbwT(avbw)aT(v)bT(w)avbw，即a()vb()w0。因为,是线性变换T:VV的两个互异的特征值，v和w分别是属于和的特征向量，所以v,w线性无关。所以a()0,b()0。

如果a0，则有。因为,互异，所以0，进而b0。所以有a0或者b0。

9．证明或举反例否定下面命题。

V)dim(W，)则任何线性映射（a）若有限维线性空间V,W满足dim(T:VW都不是同构。

答：正确。因为T:VW是同构dim(V)dim(W)。

（b）若方阵A,B有相同的特征多项式，则A和B是相似的。

10答：错误。例如A,BE2，则他们的特征多项式相同，均为

11f()(1)2，但A和B不相似，因为A不可对角化。

（c）若可逆方阵A相合于方阵B，则他们的逆矩阵A1,B1也是相合的。

答：正确。这是因为：若可逆方阵A相合于方阵B，则存在可逆矩阵CT1使得BCTAC，进而B1(CTAC)1C1A1(C)C1A1(C1)T，即A1,B1相合。

（d）实正交矩阵一定可对角化。

cos答：错误。比如Asinsin的特征多项式为cosf()22cos1，所以没有实特征根，当然也不能对角化。