使用洛必达法则求极限的几点注意_图文(精)_利用洛必达法则求极限

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硬闲洛密达法则求极限的 儿点涅 枣 口杨黎霞

(江南大学江苏・无锡214122 摘要如果当圹+口或r+*时,两个函数删与,M都趋于零或都趋于无穷大。那么极限l/m葡可能存在,也可能不存在。洛

‘::,必达法则是计算此类未定式极限行之有效的方法.然而。对于本科一年级的初学者来讲,若盲目使用此法则.会导致错误。本文 就使用该法则解题过程中的几点注意作了分析与探讨。

关键词洛必达法则 极限未定式等价无穷小代换 变量代换 中图分类号:0172 文献标识码:A 在高等数学里.极限是大一新生一开始就要接触而且非常重要 的内容。其中有一类未定式的极限不能用“商的极限等于极限的 商”这一法则.而要用洛必达法则。洛必达法则内容很简单.使用起 来也方便有效。但在具体使用过程中。一旦疏忽了以下几点.解题就 可能出错。

首先,只有分子、分母都趋于零或都趋于无穷大时,才能直接使 用洛必达法则。其次,每次使用洛必达法则前都要检验是否满足次法则条件。只要满足此法则条件.就可连续使用此法则.直到求出结果或为无 穷大。

例如:t/mx“。:坛,n.垡!;!j:以,n墨王翌::!.≥芝三:…:lira墨}==D(n仨z+ ,-.-e’r_・ e’ Jr--JO e‘r_・e。

此题用了n次法则。

再者,使用洛必达法则求极限是应及时化简,主要指代数、三角 恒等变形,约去公因子。具有极限不为零的因子分离出来,等价无穷 小代换,变量代换等。下面通过例子说明。

土-例:鲤【(J慨。7I叫】‘=塑【(J+÷eL÷】=纫型±笋=姆 号等力

此题先用了变量代换。当变量x趋于。时.t趋于0.这一点要注 意。例:矗。卑=f溉!堡:型Jim r.zim掣=f讹丝车堑 =lim S,ec气-I=li,n.]+co.sx-一2 本题用了多种方法:提出极限存在但不为零的因子。等价无穷 小代换。洛必达法则,三角恒等变形约分等。

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fJ目:lim———生—r_—一若直接使用洛必达法则,其分子

求导带来复杂的运算。用等价无穷小代换又不知道分子与谁等价, 故可以拆开考虑’其解如下: 原式:梳！二:主！:::!一跏型互享=!:lira 原式=梳———冬—一一跏』尘弘= ex(1--x+÷扛乇’ ÷一

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此题综合运用了代数恒等变形,等价无穷小代换,极限不为零 的因子先分离出来,洛必达法则这几种方法。由这儿个例题也可以 知道,洛必达法则不能贸然使之.必要时应与求极限的其他方法同 时使用。才能简化计算。

还有.洛必达法则的条件是充分的.不是必要的。因此。当竺m.铹 不存在时。并不能肯定z.f，l糕也不存在.只是这时不能用法则。而需 r—’,I工J 用其他方法。砖讥三 2min上-c甜上 例如:lira。』=Z咖

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。而后面式子的极限不存

在.并不能断言原式的极限不存在。只说明此时不能用法则。正确做 法如下: 原式=lim4L・托m(搿讥上=1.O-'-O M引燃M 茹.J+兰丝兰跏l(“上J讥鬈

X女llllim x+sinx=lira——兰一===.—善一=J也不能用洛 ”。髫+c珊毒”“!璺丝Z概(J+.￡c椰善 茗 H 膏

必达法则。

最后一点。洛必达法则用于求连续自变量的函数未定式的极限, 对于整标函数(数列的未定式.不能直接使用洛必达法则.阂为对数 列极限式中的n无法求导。要将n换成x后.先求出相应函数的极

限测数列的极限就等于函数的极限,下面举例说明。例:I/m(Vi—

1、/百 因为“m(订一1订:l/m(e扣一1订;lkn(土1艘,..+o,—叶-,‘+o 善

尽管洛必达法则是求未定式极限的一种非常有用的方法,许多 极限题目用了洛必达法则便能很快得出结果,但是在这里必须指出

熙等等与恕湍用洛必达法则就求不出结果・应改用其 ,lira ee沁-e。-*=~Urn等=l 恐湍也蔫也蔫2丢

一。并+、/孬=『一(J+、/J+丢一J+、/J+丢2 以上所述的几点注意对初学者能较快地掌握此法则定会有所

帮助。由于所举例题有限,也不可能将所有情况都罗列出来.所以,在 碰到具体题目时。还需根据题目本身的特点灵活应用洛必达法则及

参考文献: i117高等数学(第五版同济大学应用数学系主编.高等教育小版社,2002.7.【2L￡茂南薜国民主编.高等数学习题课教程苏州大学出版社.2004.10.【3l蔡燧林湖金德。陈兰祥主编顾士研究生入学考试数学辅导讲义.理工 类北京学苑}}l版社,2002.267 万方数据

使用洛必达法则求极限的几点注意 作者:杨黎霞

作者单位:江南大学,江苏·无锡,214122 刊名: 科教文汇

英文刊名:THE SCIENCE EDUCATION ARTICLE COLLECTS 年,卷(期:2008,”“(25 被引用次数:0次 参考文献(3条

1.同济大学应用数学系 高等数学 2002 2.王茂南.薛国民 高等数学习题课教程 2004 3.蔡燧林.胡金德.陈兰祥 硕士研究生入学考试数学辅导讲义,理工类 2002 相似文献(10条

1.期刊论文 林清华 探讨洛必达法则求解极限-湖北广播电视大学学报 2008,28(12 极限作为重要的思想方法和研究工具贯穿于高等数学课程的始终.本文通过对洛必达法则求极限的深入探讨,针对不同题型归纳总结出具体的化简转 化的方法;利用数列极限和函数极限的关系间接地应用洛必达法则求数列未定式,充分体现了洛

必达法则应用的广泛性,给求极限提供了强有力的工具.2.期刊论文 王悦 关于利用洛必达法则求极限的几点探讨-科技信息 2009,”“(2 是大学中的基础课程,极限是学生一开始就要接触的最基本的知识.其中有一类未定式的极限不能用”商的极限等于极限的商“这一法则,而 要用洛必达法则.洛必达法则内容很简单,使用起来也方便,但在具体使用过程中,一旦疏忽,解题就可能出错.对于初学者来讲,若盲目使用此法则,会导致 错误.本文就利用该法则解题中的几点注意作以分析与探讨,并举例说明.3.期刊论文 吴维峰.Wu Weifeng对等价无穷小代换与洛必达法则求极限的探讨-潍坊教育学院学报 2008,21(2 本文对用等价无穷小代换与洛必达法则求函数的极限进行了探讨.4.期刊论文 于祥 洛必达法则应用误区的分析-北京电力高等专科学校学报 2010,28(2 洛必达法则是在柯西中值定理的基础之上推出的一种求不定式极限的重要定理,它的应用避免了因机械使用极限四则运算法则”商的极限等于极限的 商“而产生的错误.但不可忽视的是由于对洛必达法则的使用不当,在计算不定式极限时同样得不到正确结果,究其因为主要是对洛必达法则的使用条件把 握不够准确.本文结合具体例子对洛必达法则应用中易产生的误区进行了探讨和分析.5.期刊论文 夏滨 利用洛必达法则求极限的方法与技巧探讨-现代企业教育 2008,”“(4 本文主要通过一些典型例题介绍利用洛必达法则求极限的方法与技巧,从而更好地解决未定式问题.6.期刊论文 汤茂林.TANG Mao-lin用洛必达法则求不定式极限的技巧-职大学报 2007,”“(2 本文介绍用洛必达法则求不定式极限的技巧.7.期刊论文 张波.李秀菊.赵广华 关于”洛必达法则“求未定式极限的几点思考-网络财富 2009,”“(11 本文通过洛必达法则的内客,给出了应用此法财的几类需要注意的情况.8.期刊论文 冯志敏.薛瑞 使用洛必达法则的实质及其注意事项-中国科技信息 2009,”“(15 本文主要总结了洛必达法则在求未定式极限中的应用,需要注意的问题,并深入分析了在使用洛必过法则的时候实质是对无穷小或无穷大进行降阶,从 而经过有限次的使用法则将未定式转化成一般的极限问题,再利用极限的四则运算法则求出极限.另外指出在使用的时需要注意条件的满足,与其它求极限 的方法如无穷小的替换的结合.9.期刊论文 刘蒲凰 洛必达法则应用两则-高等数学研究 2004,7(2 指出洛必达法则在证明二重极限不存在时的一个应用,并指出了洛必达法则的一个推广

10.期刊论文 段桂花.孙秋娟 洛必达法则的应用——求不定式极限-科技信息 2010,”"(6 洛必达法则是微分学基本定理在极限方面的一个具体应用,它是求不定式极限的一种重要而简便的方法.本文链接:http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_kjwh200825228.aspx 授权使用:中共汕尾市委党校(zgsw,授权号:5f25c964-4f43-42c0-ab3f-9dcd008aa8c4 下载时间:2010年8月9日